Oktonion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Októnion (tudi Cayleyjevo število, Cayleyjev oktonion ali oktava) (oznaka množice oktonionov ) je neasociativna razširitev kvaternionov. Oktonioni tvorijo 8 razsežno algebro nad realnimi števili. Obstojajo štiri takšne algebre: to so algebra kvaternionov (), kompleksnih () in realnih števil ().

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Oktonione je odkril leta 1843 irski matematik in pravnik John Thomas Graves (1806 – 1870).

Neodvisno jih je odkril tudi britanski matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Zaradi tega oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila oziroma Cayleyjevi oktonioni.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Oktonione si lahko predstavljamo kot oktete realnih števil. Vsak oktonion je linearna kombinacija enotskih oktonionov kjer je skalar. To pomeni, da se vsak oktonion lahko zapiše kot:

kjer so:

  • realni koeficienti

Oktonioni se seštevajo enako kot kompleksna števila.

Množenje oktonionov je dano z naslednjo tabelo za enotski oktonion.

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 -1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 -1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 -1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 -1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 -1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 -1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 -1
Množenje Cayleyjevih oktonionov
Vrednosti so antisimetrične okoli diagonale z vrednostmi -1.

Pogosto namesto številk uporabljamo črke:

število 1 2 3 4 5 6 7
črka i j k l il jl kl
drugi znak i j k l m n o

Cayley-Dicksonova konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Uporablja se za definiranje oktonionov. Podobno kot se kvaternioni definirajo kot pari kompleksnih števil, se tudi oktonioni definirajo kot pari kvaternionov. Produkt dveh kvaternionov in je določen z:

kjer

  • pomeni konjugirano vrednost kvaterniona z.

To je enakovredno, kot da osem enotskih oktonionov definiramo kot pare

(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k).

Konjugirani oktonion, norma in obratna vrednost[uredi | uredi kodo]

Konjugirana vrednost oktoniona:

je enaka:

Norma oktoniona je:

Obstoj norme pogojuje obstoj obratnega elementa za vsak neničelen element. Obratni element za vsak x ≠ 0, je dan z:

Velja pa tudi x x−1 = x−1 x = 1.

Preprost mnemonični sistem za določanje produktov enotskih oktonionov.

Fanova ravnina[uredi | uredi kodo]

S pomočjo diagrama na desni lahko na enostaven način določamo produkte enotskih oktonionov. Ravnina s sedmimi točkami in sedmimi povezavami se imenuje Fanova ravnina, ki se imenuje po italijanskem matematiku Ginu Fanu (1871 – 1052). Povezave so usmerjene. Ravnina ima 7 točk in 7 povezav. Na vsaki povezavi so tri točke. Krožnica preko točk 1, 2 in 3 je enakovredna ravni povezavi. S pomočjo tabele produktov si lahko sestavimo pravila za množenje enotskih oktonionov.

Značilnosti oktonionov[uredi | uredi kodo]

  • Oktonioni zadoščajo šibkejši obliki asociativnosti. Tvorijo tako imenovano alternativno algebro. To pomeni, da je vsaka podalgebra, zgrajena s poljubnima dvema elementoma asociativna.
  • Oktonioni imajo pomembno lastnost, da zanje velja
. To pomeni, da oktonioni tvorijo normirano algebro z deljenjem.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]