Oktonion
Októnion (tudi Cayleyjevo število, Cayleyjev oktonion ali oktava) (oznaka množice oktonionov ) je neasociativna razširitev kvaternionov. Oktonioni tvorijo 8 razsežno algebro nad realnimi števili. Obstojajo štiri takšne algebre: to so algebra kvaternionov (), kompleksnih () in realnih števil ().
Zgodovina[uredi | uredi kodo]
Oktonione je odkril leta 1843 irski matematik in pravnik John Thomas Graves (1806 – 1870).
Neodvisno jih je odkril tudi britanski matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Zaradi tega oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila oziroma Cayleyjevi oktonioni.
Definicija[uredi | uredi kodo]
Oktonione si lahko predstavljamo kot oktete realnih števil. Vsak oktonion je linearna kombinacija enotskih oktonionov kjer je skalar. To pomeni, da se vsak oktonion lahko zapiše kot:
kjer so:
- realni koeficienti
Oktonioni se seštevajo enako kot kompleksna števila.
Množenje oktonionov je dano z naslednjo tabelo za enotski oktonion.
e0 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
e1 | -1 | e3 | −e2 | e5 | −e4 | −e7 | e6 |
e2 | −e3 | -1 | e1 | e6 | e7 | −e4 | −e5 |
e3 | e2 | −e1 | -1 | e7 | −e6 | e5 | −e4 |
e4 | −e5 | −e6 | −e7 | -1 | e1 | e2 | e3 |
e5 | e4 | −e7 | e6 | −e1 | -1 | −e3 | e2 |
e6 | e7 | e4 | −e5 | −e2 | e3 | -1 | −e1 |
e7 | −e6 | e5 | e4 | −e3 | −e2 | e1 | -1 |
Pogosto namesto številk uporabljamo črke:
število | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
črka | i | j | k | l | il | jl | kl |
drugi znak | i | j | k | l | m | n | o |
Cayley-Dicksonova konstrukcija[uredi | uredi kodo]
Uporablja se za definiranje oktonionov. Podobno kot se kvaternioni definirajo kot pari kompleksnih števil, se tudi oktonioni definirajo kot pari kvaternionov. Produkt dveh kvaternionov in je določen z:
kjer
- pomeni konjugirano vrednost kvaterniona z.
To je enakovredno, kot da osem enotskih oktonionov definiramo kot pare
- (1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k).
Konjugirani oktonion, norma in obratna vrednost[uredi | uredi kodo]
Konjugirana vrednost oktoniona:
je enaka:
Norma oktoniona je:
Obstoj norme pogojuje obstoj obratnega elementa za vsak neničelen element. Obratni element za vsak x ≠ 0, je dan z:
Velja pa tudi x x−1 = x−1 x = 1.
Fanova ravnina[uredi | uredi kodo]
S pomočjo diagrama na desni lahko na enostaven način določamo produkte enotskih oktonionov. Ravnina s sedmimi točkami in sedmimi povezavami se imenuje Fanova ravnina, ki se imenuje po italijanskem matematiku Ginu Fanu (1871 – 1952). Povezave so usmerjene. Ravnina ima 7 točk in 7 povezav. Na vsaki povezavi so tri točke. Krožnica preko točk 1, 2 in 3 je enakovredna ravni povezavi. S pomočjo tabele produktov si lahko sestavimo pravila za množenje enotskih oktonionov.
Značilnosti oktonionov[uredi | uredi kodo]
- Oktonioni niso komutativni
- Oktonioni niso asociativni
- Oktonioni zadoščajo šibkejši obliki asociativnosti. Tvorijo tako imenovano alternativno algebro. To pomeni, da je vsaka podalgebra, zgrajena s poljubnima dvema elementoma asociativna.
- Oktonioni imajo pomembno lastnost, da zanje velja
- . To pomeni, da oktonioni tvorijo normirano algebro z deljenjem.
Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]
- Oktonioni (angleško)
- Oktonioni na MathWorld (angleško)
- Oktonionske matrike Arhivirano 2011-05-15 na Wayback Machine. (angleško)