Dualno število

Dualno število je razširitev realnih števil z dodajanjem novega elementa $\varepsilon ^{2}=0\,$ ($\varepsilon \,$ je nilpotenten). Dualna števila prištevamo med hiperkompleksna števila.

Množica dualnih števil tvori dvorazsežno komutativno unitarno asociativno algebro nad realnimi števili.

Dualna števila imajo obliko $z=a+b\varepsilon \,$, kjer sta a in b realni števili.

Dualna števila je uvedel William Kingdon Clifford leta 1873. Kandasamy; Smarandache (2012), str. 9

Z uporabo matrik lahko dualna števila izrazimo kot

$\varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{in}}\quad a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$.

Vsota in zmnožek dualnih števil se izračuna z uporabo pravil običajnega seštevanja in množenja matrik.

Značilnosti

Podobno kot v vseh hiperkompleksnih algebrah tudi pri dualnih številih velja levi in desni zakon distribucije. Podobno kot kompleksna števila so tudi komutativna in asociativna. Zanje velja

$1\cdot \varepsilon =\varepsilon \cdot 1=\varepsilon$

$1\cdot (1\cdot \varepsilon )=1\cdot \varepsilon =(1\cdot 1)\cdot \varepsilon =\varepsilon$

$1\cdot (\varepsilon \cdot \varepsilon )=1\cdot 0=0=\varepsilon \cdot \varepsilon =(1\cdot \varepsilon )\cdot \varepsilon$.

Deljenje dualnih števil

Dualna števila delimo enako kot delimo kompleksna števila. To pomeni, da imenovalec in števec pomnožimo s konjugirano vrednostjo in s tem odstranimo nerealni del.

Primer deljenja dualnega števila:

Imamo število

${a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon }$

Pomnožimo števec in imenovalec s konjugirano vrednostjo imenovalca

$={(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon ) \over (c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}={ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -bd\varepsilon ^{2} \over (c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2})}={ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -0 \over c^{2}-0}$

$={ac+\varepsilon (cb-ad) \over c^{2}}$

$={a \over c}+{(cb-ad) \over c^{2}}\varepsilon$.

Rezultat je definiran, kadar je c različen od nič.

Viri

• Kandasamy, W. B. Vasantha; Smarandache, Florentin (2012). Special Dual Like Numbers and Lattices. str. 9.

Zunanje povezave

• Dualno število na MathWorld (angleško)
• Dualno število na nLab (angleško)