Kvaternion

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kvaternióni (množico kvaternionov označujemo s ) so v matematiki sistem hiperkompleksnih števil in so nekomutativna razširitev kompleksnih števil. Najprej so imeli kvaternione za patološke, ker zanje ne velja zakon komutativnosti ab = ba, in so jih zato poskušali čim bolj nadomestiti z vektorji. Danes jih uporabljamo na mnogih področjih teoretične in uporabne matematike. Kvaternione je vpeljal irski matematik, fizik in astronom sir William Rowan Hamilton leta 1843.

Definicija[uredi | uredi kodo]

· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

Kompleksna števila dobimo, če realnim številom dodamo element i (imaginarno enoto), za katerega velja , kvaternione pa, če realnim številom dodamo elemente i, j in k, za katere veljajo naslednje zveze:

Splošna oblika kvaterniona je zapisana kot:

Pri tem so spremenljivke , , in realna števila.

Množica kvaternionov je enakovredna štiri-razsežnemu vektorskemu prostoru nad realnimi števili . Množica ima tri operacije: seštevanje ter skalarno in kvaternionsko množenje. Vsota dveh elementov množice je vsota njenih elementov iz . Podobno je zmnožek elementa iz z realnim številom enak kot zmnožek v . Da bi definirali zmnožek dveh elementov v , moramo določiti bazo v . Elemente ta baze običajno označujemo z . Vsak element iz se lahko napiše kot linearna kombinacija baznih elementov v obliki , kjer so realna števila. Bazni element 1 je nevtralni element množice .

Hamiltonov produkt[uredi | uredi kodo]

Imejmo dva kvaterniona in potem je njun Hamiltonov produkt določen z zmnožkom baznih elementov in zakonom distributivnosti. To nam da naslednjo vrednost

.

Skalarni in vektorski del kvaterniona[uredi | uredi kodo]

Kvaternion oblike (a je realno število), se imenuje realni del kvaterniona. Kvaternion, ki ima obliko (b, c in d so realna števila), se imenuje čisti imaginarni kvaternion. Če je kvaternion, potem imenujemo skalarni del kvaterniona in imenujemo vektorski del. Čeprav je vsak kvaternion vektor v štirirazsežnem vektorskem prostoru, lahko definiramo vektor kot čisti imaginarni kvaternion. S tem postane vektor isto kot element vektorskega prostora .

Hamilton je imenoval imaginarne kvaternione kot prave kvaternione [1][2], realna števila pa so bila zanj skalarni kvaternioni.

Konjugirana ter obratna vrednost, norma in enotski kvaternion[uredi | uredi kodo]

Konjugirana vrednost[uredi | uredi kodo]

Konjugirana vrednost kvaterniona se določi podobno kot se določi konjugirana vrednost kompleksnega števila. Kadar je kvaternion enak je njegova vrednost enaka . Označujemo jo kot ali . Konjugacija je involucija, kar pomeni, da pri dvakratni konjugaciji dobimo prvotni element. Konjugacija produkta je produkt konjugiranih vrednosti v obratnem vrstnem redu. To je

.

Konjugirana vrednost kvaterniona se lahko prikaže kot kombinacija množenja in seštevanja

.

Obratna vrednost[uredi | uredi kodo]

Obratno vrednost kvaterniona lahko določimo s pomočjo konjugirane vrednosti in norme

Norma kvaterniona[uredi | uredi kodo]

Norma kvaterniona je kvadratni koren iz zmnožka kvaterniona z njegovo konjugirano vrednostjo. Normo kvaterniona kot običajno označujemo s . Hamilton je to vrednost imenoval tenzor kvaterniona q, kar pa ni v skladu z modernim načinom uporabe izraza tenzor. Norma kvaterniona je

.

Velja tudi

Norma je multiplikativna, kar pomeni, da je

.

S pomočjo norme lahko določimo tudi razdaljo med kvaternionoma in , ki je norma njune razlike

.

To pa pomeni, da je metrični prostor.

Enotski kvaternion[uredi | uredi kodo]

Enotski kvaternion je kvaternion z normo 1. Dobimo ga iz

.

Z smo označili enotski kvaternion, ki ga imenujemo tudi versor kvaterniona .

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Hamilton, Sir William Rowan (1866). Hamilton Elements of Quaternions article 285. str. 310]. 
  2. ^ Hardy Elements of quaternions. library.cornell.edu. str. 65. 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]