Norma (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Norma (oznaka za vektor ) je v matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma, če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta in dve točki v ravnini, je norma vektorja razdalja med točkama in ali , kar zapišemo kot .

Definicija[uredi | uredi kodo]

Norma vektorja[uredi | uredi kodo]

Za dani vektorki prostor nad podobsegom kompleksnih števil je norma funkcija , ki zadošča naslednjim pogojem

  1. .

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor.

Normo elementa iz vektorskega prostora označujemo z .

Če ima vektor normo enako 1 (), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor normo, ki je enaka 1.

Lastnosti norme[uredi | uredi kodo]

  1. .

Primeri[uredi | uredi kodo]

Evklidska norma[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Evklidska razdalja.

V n-razsežnem Evklidskem prostoru je dolžina vektorja določena z

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke , kar nam da tudi Pitagorov izrek. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena morma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru je najblj pogosto uporabljana norma

.

Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta

.

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

P norma[uredi | uredi kodo]

Posebna skupina norm je p-norma, ki je za enaka

.

Če je , dobimo Evklidsko normo, ki se izračuna kot

.

To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je , dobimo normo z uporabo geometrije taksijev. To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja. To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost , kar nam da

To je limita p-norm za končni p. Norma je znana tudi kot uniformna norma ali razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).

Za dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost , tvori hiperkocko z robovi dolžine

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]