Norma (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Norma (oznaka  ||\overrightarrow a || \, za vektor  \overrightarrow  a \,) je v matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma, če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta  A \, in  B \, dve točki v ravnini, je norma vektorja  \overrightarrow{AB} \, razdalja med točkama  A \, in  B \, ali \overrightarrow{AB}, kar zapišemo kot  || \overrightarrow{AB} || \,.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Norma vektorja[uredi | uredi kodo]

Za dani vektorki prostor  V \, nad podobsegom  F \, kompleksnih števil je norma funkcija p\colon V \to \mathbb{R}, ki zadošča naslednjim pogojem

  1. \forall x \in V, p(x)\geqslant 0 \,
  2. p(x)=0 \Rightarrow x=0_V \,
  3. \forall (x,y) \in V^2, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y) \,
  4. \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x) \,.

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor.

Normo elementa  x \, iz vektorskega prostora  \mathbb{R}\, označujemo z  ||x|| \,.

Če ima vektor  x \, normo enako 1 ( ||x|| = 1 \,), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor  x \, lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor   \, \frac{x}{\| x\|} normo, ki je enaka 1.

Lastnosti norme[uredi | uredi kodo]

  1.  \mid \| x \| - \| y \| \mid \le \| x \pm y \| \le \| x\| + \| y \|
  2.  (\| x \| - \| y \|)^2 \le \| x+y \|^2 \le (\| x \| + \|y \|)^2
  3.  \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1]
  4.  \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0
  5.  0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0.

Primeri[uredi | uredi kodo]

Evklidska norma[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Evklidska razdalja.

V n-razsežnem Evklidskem prostoru  R^n \, je dolžina vektorja  \vec x = [x_1, x_2, \dots, x_n] \, določena z

\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \,

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke  x \,, kar nam da tudi Pitagorov izrek. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena morma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru  C^n \, je najblj pogosto uporabljana norma

\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}..

Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta

\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{x}}..

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

P norma[uredi | uredi kodo]

Posebna skupina norm je p-norma, ki je za  p \ge 1 \, enaka

\|\mathbf{x}\|_p := \bigg( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \bigg)^{1/p} \,.

Če je  p = 2 \,, dobimo Evklidsko normo, ki se izračuna kot

\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \,.

To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je  p = 1 \,, dobimo normo z uporabo geometrije taksijev. To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja. To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost  p = \infty \,, kar nam da

\ \|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\}\,

To je limita p-norm za končni p. Norma  L^{\infty} \, je znana tudi kot uniformna norma ali razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).

Za  p = \infty \, dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost  c \,, tvori hiperkocko z robovi dolžine  2c \,

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]