Vrsta (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za druge pomene glejte vrsta.

Vŕsta v matematiki pomeni vsoto zaporedja njenih členov. Vrsta je torej seznam števil z operacijami seštevanja med njimi, na primer kot v aritmetičnem zaporedju:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

V večini zanimivih primerov lahko člene zaporedja, ki ga seštevamo, določimo po določenem pravilu, npr. po enačbi, po algoritmu, po zaporedju meritev, ali jih celo dobimo z generatorjem naključnih števil.

Vrste so lahko končne ali neskončne; v prvem primeru jih obravnavamo z elementarno algebro, v drugem moramo, če jih želimo uporabiti v koristne namene, poseči po orodjih matematične analize.

Zgledi preprostih vrst vključujejo aritmetično vrsto, ki je vsota členov aritmetičnega zaporedja, zapisana kot:

 \sum_{n=0}^{N} (an+b) \!\, ;

in končno geometrično vrsto, vsoto členov geometričnega zaporedja, ki jo lahko zapišemo kot:

\sum_{n=0}^{N} ak^{n} \!\, .

Neskončne vrste[uredi | uredi kodo]

Vsota neskončne vrste a0 + a1 + a2 + ... je limita zaporedja delnih vsot:

 S_{n} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \!\, ,

ko n → ∞. Ta limita ima lahko končno vrednost in, če jo ima, rečemo da vrsta konvergira. Če je vrednost neskončna, vrsta divergira. Dejstvo, da neskončne vrste lahko konvergirajo, pojasnjuje matematično stran več Zenonovih paradoksov.

Najpreprostejša konvergentna neskončna vrsta je verjetno:

 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \!\, .

Lahko si predstavljamo njeno konvergenco na realni številski premici: zamislimo si daljico dolžine 2, z zaporednimi odseki, označenimi z 1, ½, ¼, itd. Vedno je prostor, da označimo naslednji odsek, ker je dolžina daljice, ki ostaja, vedno enaka kot zadnji označen odsek. Ko smo označili ½, imamo še vedno del dolžine ½ neoznačene, in tako lahko označimo naslednji odsek ¼. Ta privzetek ne dokazuje da je vsota enaka 2 (čeprav je), ampak da je enaka največ 2, oziroma, da ima vrsta zgornjo mejo.

Ta vrsta je geometrična vrsta in se po navadi zapiše kot:

 \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = 2, \quad \left( a=1, k=\frac{1}{2} \right) \!\, .

Neskončno vrsto formalno zapišemo kot:

 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \!\, ,

kjer so členi an realna (ali kompleksna) števila. Rečemo, da ta vrsta konvergira k S, oziroma, da je njena vsota enaka S, če limita:

 \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N} a_{n} \!\, .

obstaja, in je enaka S. Če takšno število ne obstaja, rečemo, da vrsta divergira.


Glej tudi[uredi | uredi kodo]