Parcialni odvod

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

V matematiki je parcialni odvod funkcije z več spremenljivkami je njen odvod po le eni od teh spremenljivk, kjer ostale jemljemo kot konstante (nasprotno kot v popolnem odvodu, kjer se lahko spreminjajo vse spremenljivke). Parcialni odvodi se uporabljajo v vektorski analizi in diferencialni geometriji.

Parcialni odvod funkcije po spremenljivki je lahko označen z naštetim:

Včasih je za parcialni odvod od po spremenljivki označen z Ker ima na splošno parcialni odvod enake argumente kot izvorna funkcija, se funkcionalna odvisnost včasih eksplicitno označi s spodnjim zapisom:

Simbol, ki označuje parcialni odvod je . Eno izmed prvih uporab tega simbola v matematiki si lasti Marquis de Condorcet iz leta 1770, ko ga je uporabljal za parcialne razlike. Moderni parcialni simbol je naredil Adrien-Marie Legendre (1786), a ga je kasneje nehal uporabljati. Leta 1841 ga je ponovno vpeljal Carl Gustav Jacob Jacobi.[1]

Uvod[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da je f funkcija več spremenljivk. Na primer

Graf od z = x2 + xy + y2. Za parcialni odvod na (1, 1), ki pusti y konstanten, je pripadajoča tangenta vzporedna ravnini xz.
Kos grafa zgoraj kaže funkcijo na ravnini xz na y = 1. Dve osi sta tukaj narisani v različnih merilih. Naklon tangente je enak 3.

Graf te funkcije oriše ploskev v evklidskem prostoru. Skozi vsako točko na tej ravnini gre neskončno tangent. Parcialna diferenciacija je dejanje izbire ene od teh črt in izračunanje njenega naklona. Po navadi največ pozornosti pritegnejo črte, ki so vzporedne na ravnino in te, ki so pravokotne na ravnino yz. (kar privede do računanja z eno konstantno spremenljivko: y ali pa x.).

Da odkrijemo naklon tangente funkcije na in vzporednico na ravnino , potem moramo obravnavati kot konstanto. Na desni sta prikazana graf in ta ravnina. Spodaj vidimo, kako izgleda funkcija na ravnini . Z iskanjem odvoda enačbe, medtem ko predpostavimo, da je konstanten, odkrijemo, da je naklon funkcije na točki enak:

Torej je na naklon s substitucijo enak 3. Iz tega sledi:


na točki . Torej je parcialni odvod od po na enak 3, kot je tudi prikazano na grafu.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Osnovna definicija[uredi | uredi kodo]

Funkcija f se lahko spremeni v družino funkcij ene spremenljivke, ki je indeksirana z ostalimi spremenljivkami:

Z drugimi besedami, vsaka vrednost y definira funkcijo, označeno z fy , ki je funkcija ene spremenljivke x.[a] To je

V tem razdelku podpisana notacija fy označuje funkcijski kontingent na stalno vrednost y in ne parcialnega odvoda.

Ko je vrednost y izbrana, recimo da je enaka a, potem f(x,y) označuje funkcijo fa ki izriše krivuljo x2 + ax + a2 na ravnini :

V tem izrazu je a konstanta, ne spremenljivka, torej je fa funkcija le ene realne spremenljivke, ki se imenuje x. Sočasno se spremeni tudi definicija odvoda funkcije za eno spremenljivko:

Zgornji postopek se lahko naredi za katerikoli a. Če združimo skupaj odvode v eno funkcijo, nastane funkcija, ki opiše spremembe od f v smeri x:

To je parcialni odvod od f po x. Tukaj je ∂ zaobljen d, ki se imenuje parcialno-odvodni simbol. Da ga ločimo od črke d, se ∂ pogosto imenuje "parcial".

V splošnem je parcialni odvod n-arne funkcije f(x1, ..., xn) v smeri xi na točko (a1, ..., an) definiran kot:

V zgornjem diferenčnem kvocientu so vse spremenljivke razen xi stalne. Ta izbira stalne vrednosti določi funkcijo ene spremenljivke

in po definiciji,

Z drugimi besedami različne diferenčne izbire od a indeksirajo družino funkcij z eno spremenljivko kot v zgornjem primeru. Ta izraz nam tudi pokaže, da je čas izračunavanja parcialnih odvodov veliko manjši kot odvodov ene spremenljivke.

Pomemben primer funkcije več spremenljivk je primer funkcije s skalarno vrednostjo f(x1, ..., xn) na intervalu v Evklidskem prostoru (tj. na ali ). V tem primeru ima f parcialni odvod ∂f/∂xj glede na vsako spremenljivko xj. Na točki a te parcialni odvodi definirajo vektor

Ta vektor se imenuje gradient od f na a. Če je f diferenciabilen na vsaki točki na nekem intervalu, potem je gradient funkcija ∇f z vektorsko vrednostjo, ki zavzame točko a do vektorja ∇f(a). Sočasno gradient ustvari vektorsko polje.

Pogosto se malo nepravilno zaradi poenostavitve definira operator delta (∇) v tridimenzionalnem evklidskem prostoru z enotskimi vektorji tako, kot sledi:

Ali bolj splošno za n-dimenzionalni evklidski prostor s koordinatami in enotskimi vektorji:

Formalna definicija[uredi | uredi kodo]

Kot navadni odvodi je tudi parcialni odvod definiran z limito. Naj bo U odprta podmnožica od in naj bo funkcija. Parcialni odvod funkcije f na točki glede na i-to spremenljivko xi je definiran kot:

Tudi če vsi parcialni odvodi ∂f/∂xi(a) obstajajo na dani točki a, ni nujno, da je funkcija tukaj zvezna. A če vsi parcialni odvodi obstajajo v bližini a-ja in so tam zvezni, potem je f popolnoma diferenciabilna v okolici in popolni odvod je zvezen. V tem primeru se reče, da je f enak C1 funkcije. To se lahko uporabi za posplošitev vektorskih vrednosti funkcij s pazljivo uporabo sestavnega dela argumenta.

Parcialni odvod se lahko uporabi kot druga funkcija, ki je definirana na U in se lahko ponovno delno odvaja. Če so vsi mešani parcialni odvodi drugega reda zvezni na točki (ali množici), potem je f definiran kot C2 funkcije na tej točki (ali na tej množici); v takem primeru se lahko parcialni odvodi izmenjajo po Clairautovem izreku:

Primeri[uredi | uredi kodo]

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Prostornina stožca je odvisna od višina in polmera.

Prostornina V stožca je odvisna od njegove višine h in polmera r, kar je v skladu s formulo:

Parcialni odvod od V po spremenljivki r je

kar predstavlja hitrost spremembe stožčeve prostornine, če se spreminja njegov polmer, višina pa ostaja konstantna. Parcialni odvod po spremenljivki je enak kar predstavlja, s kakšno pogostostjo se spreminja prostornina stožca, če spreminjamo višino, polmer pa ostaja konstanten.

Za razliko od navedenega, je popolni odvod od V zaporedoma po spremenljivkah r in h takšen

in

Razlika med popolnim in parcialnim odvodom je odprava posrednih odvisnosti med spremenljivkami v parcialnih odvodih.

Če morajo (zaradi raznih razlogov) razmerja v stožcu ostajati enaka, torej je razmerje med višino in polmerom v stalnem razmerju k,

Kar nam poda popolni odvod po spremenljivki r.

kar poenostavimo v:

Podobno je tudi popolni odvod po h enak:

Popolni odvod prostornine po obeh spremenljivkah r in h kot skalarna funkcija obeh spremenljivk je podana v gradientu

.

Optimizacija[uredi | uredi kodo]

Parcialni odvodi se pojavijo v kateremkoli analiznem optimizacijskem problemu z izbiro več kot ene spremenljivke. Na primer, v ekonomiji si želi podjetje povečati dobiček π(x, y) na maksimalno vrednost s spremembo dveh različnih spremenljivk x in y kot vnos. Pogoji prvega reda za optimizacijo so πx = 0 = πy. Ker bosta oba parcialna odvoda πx in πy oba funkciji obeh argumentov x in y, bosta oba pogoja prvega reda oblikovala sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Termodinamika, kvantna mehanika in matematična fizika[uredi | uredi kodo]

Parcialni odvodi se pojavijo tudi v termodinamičnih enačbah kot recimo Gibbs-Duhemova enačba, v kvantni mehaniki Schrödingerjeva valovna enačba in v ostalih enačbah matematične fizike. Tukaj so konstantne spremenljivke v parcialnih odvodih lahko razmerja preprostih spremenljivk, kot recimo molski delež xi v sledečem primeru Gibbsovih energij v ternarnem mešalnem sistemu:

Izraženi molski deleži komponent funkcij od ostalih molskih deležev in binarnih molskih deležev komponent:

Diferencialne kvociente lahko oblikujemo kot konstantna razmerja (kot prej navedene):

Razmerja X, Y, Z molskih deležev se lahko zapišejo za ternarne in multikomponentne sisteme.

ki se lahko uporabijo za rešitev parcialnih diferencialnih enačb, kot:

Ta enakost se lahko preoblikuje tako, da so diferencialni kvocienti molskih deležev na eni strani.

Sprememba velikosti slike[uredi | uredi kodo]

Parcialni odvodi so tudi ključnega pomena pri algoritmih za spremembo velikosti slike. Splošno znani kot rezbarjenje šivov, morajo te algoritmi vsakemu pikslu prirediti določeno numerično 'energijo', da opišejo nepodobnost med ortogonalnimi piksli. Algoritem kasneje progresivno odstrani vrste ali stolpce z najnižjo energijo. Formula, ki opiše pikslovo energijo (velikost gradienta na pikslu) je zelo odvisna od parcialnih odvodov.

Ekonomija[uredi | uredi kodo]

Parcialni odvodi igrajo ključno vlogo tudi v ekonomiji, kjer večino funkcij opiše več spremenljivk. Na primer funkcija družbene potrošnje je definirana s spremenljivkami: znesek, ki je porabljen za potrošniško blago, dohodek, bogastvo ... Mejna nagnjenost k porabi je potem parcialni odvod potrošniške funkcije glede na prihodek.

Zapis[uredi | uredi kodo]

Za navedene primere, naj bo funkcija v in .

Parcialni odvodi prvega reda:

Parcialni odvodi drugega reda:

Mešani odvodi drugega reda:

Parcialni in mešani odvodi višjih redov:

Ko imamo opravka s funkcijami z več spremenljivkami in so te spremenljivke odvisne druga od druge, je treba določiti, katere spremenljivke bodo ostale konstantne. Na področjih, recimo pri statistični mehaniki, je parcialni odvod od glede na , kjer sta in konstantna, pogosto izražen:

Zaradi jasnosti in preprostosti zapisa se včasih napačno funkcija parcialnega odvoda in vrednost funkcije na določeni točki zapiše zraven funkcijskih argumentov v Leibnizovem zapisu. Torej se izraz

uporablja za funkcijo, medtem ko se

uporablja za vrednost funkcije na točki . A problem nastane, ko želimo zapisati parcialni odvod na točki . V takšnem primeru pa se mora funkcija izraziti

ali

da bi upoštevali Leibnizov zapis. A v takšnem primeru je bolj priporočljivo, če uporabimo Eulerjev zapis z diferencialnim operatorjem za simbol parcialnega odvoda glede na i-to spremenljivko. Na primer lahko zapišemo za zgornji opisan primer, medtem ko izraz predstavlja parcialni odvod funkcije glede na 1. spremenljivko.[2]

Za parcialne odvode višjih redov se funkcija parcialnega odvoda glede na i-to spremenljivko zapiše . To je enako , saj so spremenljivke zapisane v vrstnem redu, kot so vzeti odvodi in torej v obratnem redu kot so v kompoziciji. Seveda Clairautojev izrek pravi, da velja takrat, ko so v funkciji f zmerni pogoji.

Parcialni odvodi višjih redov[uredi | uredi kodo]

Parcialni odvodi drugih in višjih redov so definirani analogno z odvodi višjih redov nespremenljivih funkcij. Za funkcijo je "lasten" parcialni odvod drugega reda glede na x preprosto parcialni odvod parcialnega odvoda (oba glede na x):[3]

:316–318Križni parcialni odvod glede na x in y se določi z odvzemom parcialnega odvoda funkcije f glede na x in kasneje z odvzemom parcialnega odvoda rezultata glede na y, da dobimo:

Schwarzov izrek pravi: Če so odvodi drugega reda zvezni, potem izraz za križni parcialni odvod ne vpliva, glede na katero spremenljivko se računa parcialni odvod. Torej,

oziroma ekvivalentno

Lastni in križni parcialni odvodi se pojavijo v Hessovi matriki, ki se uporablja v pogojih drugega reda v optimizacijskih problemih.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe[uredi | uredi kodo]

  1. To se lahko izrazi tudi kot sosednjost med produktom prostora in funkcijskim prostorom.

Viri[uredi | uredi kodo]

  1. Miller, Jeff (2009-06-14). "Earliest Uses of Symbols of Calculus". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Pridobljeno dne 2009-02-20.
  2. Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. str. 44. ISBN 9780805390216.
  3. Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Parcialni odvodi na MathWorld