Vektorsko polje

Zgled enostavnega vektorskega polja.

Zgled vektorskega polja. Vektorji so prikazani kot puščice, ki imajo različne smeri in velikosti.

Vektorsko polje je funkcija, ki vsaki točki prostora pripiše vektor, pripadajoč neki fizikalni količini. Pojem vektorskega prostora se uporablja v fiziki za opisovanje pojavov, ki vključujejo smer v vsaki točki prostora. Zgledi takšnih pojavov so: gibanje tekočine in sila, ki jo povzroča električno ali magnetno polje. Pogosta je uporaba tudi v modelih pojavov ozračju (hitrost vetra).

Če je prostor evklidski, je pojem vektorskega polja precej lahko razumljiv.

Nekaj enostavnih zgledov

• hitrost pri gibanju kapljevin
• magnetno polje
• električno polje

Posebni primeri vektorskih polj

Vektorsko polje na ploskvi

Če je ${\vec {\mathbf {r} }}\!\,$ krajevni vektor za katerega velja ${\vec {\mathbf {r} }}=(x,y)\!\,$, potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko:

${\vec {\mathbf {F} }}({\vec {\mathbf {r)} }}=(F_{x}(x,\ y),\ F_{y}(x,\ y))\!\,.$

Vektorsko polje v prostoru

Če je ${\vec {\mathbf {r} }}\!\,$ krajevni vektor za katerega velja ${\vec {\mathbf {r} }}=(x,y,z)\!\,$, potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko:

${\vec {\mathbf {F} }}({\vec {\mathbf {r} }})=\{F_{x}(x,\ y,\ z),\ F_{y}(x,\ y,\ z),\ F_{z}(x,\ y,\ z)\}\!\,.$

Gradient skalarnega polja

Vektorsko polje se lahko dobi iz skalarnega polja z uporabo gradienta. Vektorsko polje $V\!\,$, ki je določeno nad množico $S\!\,$ se imenuje gradientno polje. To je takrat, ko obstaja realna funkcija (skalarno polje) tako, da je:

$V=\nabla f={\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\bigg )}\!\,.$

Krivuljni integral po zaprti poti v gradientnem polju je enak 0.

Pretok vektorskega polja ${\vec {\mathbf {F} }}({\vec {\mathbf {r} }})\!\,$ čez površino $S\!\,$ je določen z integralom:

$\Phi _{F}=\iint \limits _{S}{{\vec {\mathbf {F} }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\mathbf {S} }}}=\iint \limits _{S}{F_{n}\ \mathrm {d} S}\!\,,$

kjer je:

• $F_{n}\!\,$ – projekcija vektorja polja na pravokotnico na površino,
• $\mathrm {d} S\!\,$ – vektorski element površine (vektor enotske pravokotnice pomnožen z $\mathrm {d} S\!\,$).

Zgled pretoka vektorskega polja je prostornina tekočine, ki steče skozi površino $S\!\,$ pri hitrosti $F\!\,$.

Divergenca vektorskega polja je:

$\operatorname {div} \,{\vec {\mathbf {F} }}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\!\,.$

Rotor je:

$\operatorname {rot} \;{\vec {\mathbf {F} }}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\vec {\mathbf {j} }}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\vec {\mathbf {k} }}\!\,,$

kjer je:

• ${\vec {i}}\!\,$ – enotni vektor na osi x
• ${\vec {j}}\!\,$ – enotni vektor na osi y
• ${\vec {k}}\!\,$ – enotni vektor na osi z

Gradient omogoča, da se iz skalarnega polja dobi vektorsko polje:

$\operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x}}{\vec {\mathbf {i} }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\vec {\mathbf {j} }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {\mathbf {k} }}\!\,,$

ali, če se to zapiše z uporabo nable:

$\operatorname {grad} f\equiv \nabla f\!\,.$

Nekatere značilnosti

• vektorsko polje, ki ima povsod divergenco enako 0, se imenuje solenoidalno vektorsko polje.
• vektorsko polje, ki pa ima rotor enak 0 v katerikoli točki, se imenuje potencialno vektorsko polje (nevrtično). Takšno polje se lahko prikaže kot gradient nekega skalarnega polja (potenciala).
• vektorsko polje, ki ima povsod divergenco in rotor enak 0, se imenuje harmonično polje, njegov potencial pa predstavlja harmonično funkcijo.

Glej tudi

• skalarno polje
• tenzorsko polje
• spinorno polje

Zunanje povezave

• Vektorsko polje na MathWorld (angleško)
• Simulacije vektorskega prostora (dvorazsežna in trirazsežna varianta) (angleško)
• Vektorska polja (angleško)
• Simulacija vektorskega polje okoli dveh nabojev (angleško)
• Simulacije za različne funkcije Arhivirano 2009-04-14 na Wayback Machine. (angleško)
• Vektorska polja (angleško)