Odvod

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Diferenciacija in izpeljava[uredi | uredi kodo]

Definicija z diferenčnim količnikom[uredi | uredi kodo]

Naj bo funkcija -a.

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivost[uredi | uredi kodo]

Odvod kot funkcija[uredi | uredi kodo]

Višji odvodi[uredi | uredi kodo]

Zapisovanje odvoda[uredi | uredi kodo]

Leibnizev zapis[uredi | uredi kodo]

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

Višje odvode zapišemo kot

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis[uredi | uredi kodo]

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis[uredi | uredi kodo]

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis[uredi | uredi kodo]

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Tabela odvodov.

Pravila za sestavljanje funkcij[uredi | uredi kodo]

  • odvod vsote/razlike:
  • odvod produkta:
  • odvod količnika:
  • odvod kompozituma:

Odvodi elementarnih funkcij[uredi | uredi kodo]

  • odvod konstante: če je f(x) = c (konstanta), potem
  • odvod potence: če je , kjer je r realno število, potem
,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

  • odvod eksponentne funkcije:
    • Naravna eksponentna funkcija se pri odvajanju ne spremeni: .
    • V splošnem pa je odvod funkcije enak .
  • odvod logaritemske funkcije:
    • Naravna logaritemska funkcija ima odvod .
    • V splošnem je odvod logaritemske funkcije enak .

Odvodi trigonometrijskih funkcij[uredi | uredi kodo]

; cosx≠0

; sinx≠0

Odvodi drugih funkcij:[uredi | uredi kodo]

(k)' je konstanta

Odvajanje v višjih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Odvajanje vektorskih funkcij[uredi | uredi kodo]

Parcialno odvajanje[uredi | uredi kodo]

Smerni odvod[uredi | uredi kodo]

Naj bo skalarno polje in neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja .

Ogledamo si izraz

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri

Sledi

pri čemer je enotski vektor.

Torej

enotski

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial[uredi | uredi kodo]

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Podatki o pojmu Odvod so morda na razpolago tudi v katerem izmed sorodnih projektov Wikipedije:

* Slovarske definicije v Wikislovarju
* Učbeniki v Wikiknjigah
* Navedki v Wikinavedku
* Izvorna besedila v Wikiviru
* Slike, zvok in animacije v Zbirki