Odvod
To je članek, ki se navezuje na | ||||||
Infinitezimalni račun | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||
Specializirani |
||||||
Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.
Diferenciacija in izpeljava[uredi | uredi kodo]
Definicija z diferenčnim količnikom[uredi | uredi kodo]
Naj bo funkcija -a.
Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.
Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:
diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).
Zveznost in odvedljivost[uredi | uredi kodo]
Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.
Odvod kot funkcija[uredi | uredi kodo]
Višji odvodi[uredi | uredi kodo]
Zapisovanje odvoda[uredi | uredi kodo]
Leibnizev zapis[uredi | uredi kodo]
Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.
Višje odvode zapišemo kot
za n-ti odvod funkcije y=f(x)
Lagrangeev zapis[uredi | uredi kodo]
Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .
Newtonov zapis[uredi | uredi kodo]
Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo
Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.
Eulerjev zapis[uredi | uredi kodo]
Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.
Računanje odvoda[uredi | uredi kodo]
Pravila za sestavljanje funkcij[uredi | uredi kodo]
- odvod vsote/razlike:
- odvod produkta:
- odvod količnika:
- odvod kompozituma:
Odvodi elementarnih funkcij[uredi | uredi kodo]
- odvod konstante: če je g(x) = c (konstanta), potem
- odvod potence: če je , kjer je r realno število, potem
- ,
Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.
- odvod eksponentne funkcije:
- Naravna eksponentna funkcija se pri odvajanju ne spremeni: .
- V splošnem pa je odvod funkcije enak .
- odvod logaritemske funkcije:
- Naravna logaritemska funkcija ima odvod .
- V splošnem je odvod logaritemske funkcije enak .
Odvodi trigonometrijskih funkcij[uredi | uredi kodo]
Odvodi drugih funkcij:[uredi | uredi kodo]
(k)' je konstanta
Odvajanje v višjih razsežnostih[uredi | uredi kodo]
Odvajanje vektorskih funkcij[uredi | uredi kodo]
Parcialno odvajanje[uredi | uredi kodo]
Smerni odvod[uredi | uredi kodo]
Naj bo skalarno polje in neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja .
Ogledamo si izraz
Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri
Sledi
-
- pri čemer je enotski vektor.
Torej
- enotski
Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial[uredi | uredi kodo]
Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:
Posplošitve[uredi | uredi kodo]
Glej tudi[uredi | uredi kodo]
Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]
- http://www.e-studij.si/Odvod
- WIMS Function Calculator makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
- ADIFF online symbolic derivatives calculator.
Slovarske definicije v Wikislovarju
Učbeniki v Wikiknjigah
Navedki v Wikinavedku
Izvorna besedila v Wikiviru
Slike, zvok in animacije v Zbirki