Odvod

Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Diferenciacija in izpeljava

$m={\mbox{sprememba v } y \over \mbox{sprememba v } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}$

Definicija z diferenčnim količnikom

Naj bo $y = f(x)$ funkcija $x$-a.

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

$f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}$

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zapisovanje odvoda

Leibnizev zapis

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

$\frac{dy}{dx},\quad\frac{d \bigl(f(x)\bigr)}{dx},\;\;\mathrm{ali}\;\; \frac{d}{dx}\bigl(f(x)\bigr).$

Višje odvode zapišemo kot

$\frac{d^ny}{dx^n},\quad \frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n},\;\;\mathrm{ali}\;\;\frac{d^n}{dx^n}\bigl(f(x)\bigr)$

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

$\dot y$

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda

Pravila za sestavljanje funkcij

• odvod vsote:

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\!\,$

• odvod produkta:

$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,$

• odvod količnika:

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\!\,$

• odvod kompozituma:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,$

Odvodi elementarnih funkcij

• odvod konstante: če je f(x) = c (konstanta), potem

$f'(x) = 0\,\!$

• odvod potence: če je $f(x) = x^r\,$, kjer je r realno število, potem

$f'(x) = rx^{r-1}\,$,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi $f'(x) = (1/2)x^{-1/2}\,$ in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

• odvod eksponentne funkcije:
  • Naravna eksponentna funkcija $f(x) = e^x\,\!$ se pri odvajanju ne spremeni: $f'(x) = e^x\,\!$.
  • V splošnem pa je odvod funkcije $f(x) = a^x\,\!$ enak $f'(x) = a^x \ln a\,\!$.

• odvod logaritemske funkcije:
  • Naravna logaritemska funkcija $f(x)=\ln x\,\!$ ima odvod $f'(x) = \frac{1}{x}$.
  • V splošnem je odvod logaritemske funkcije $f(x)=\log_a x\,\!$ enak $f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$.

Odvodi trigonometrijskih funkcij

$(\sin x)' = \cos x\!$

$(\cos x)' = -\sin x\!$

$(\sin 2x)' = 2\cos 2x\!$

$(\cos 2x)' = -2\sin 2x\!$

$(\sin(nx))' = n\cos(nx)\!$

$(\sin^2x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\!$

$(\cos^2x)' = -2\sin x \cos x = -\sin 2x\!$

$(\sin^nx)' = n \sin^{(n-1)}x \cos x\!$

$(\cos^nx)' = -n \sin x \cos^{(n-1)}x\!$

$(tgx)' = \frac{1}{\cos^2x}$; cosx≠0

$(ctgx)' = \frac{-1}{\sin^2x}$; sinx≠0

$(arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}$

Odvodi drugih funkcij:

$(k)'=0$(k)' je konstanta

$(e^x)'=e^x$

$(ln|x|)'=\frac{1}{x}$

$(a^x)'=a^x lna$

Odvajanje v višjih razsežnostih

Smerni odvod

Naj bo $n$ skalarno polje in $\vec b$ neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja $\vec b$.

Ogledamo si izraz

$\lim_{h \to 0} \frac{u(x+hb_1, y+hb_2, z+hb_3) - u(x,y,z)}{h} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b}$

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri $\vec b$

$\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}h} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}h} + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}h} + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}z} \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}h}\,\!$

Sledi

$\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} b_1 + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}y} b_2 + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}z} b_3$

pri čemer je $\vec b$ enotski vektor.

Torej

$\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \mbox{grad}\,u (b_1, b_2, b_3) = \mbox{grad}\, u\vec b,\qquad \vec b$ enotski

$\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \mbox{grad}\, u \cdot \vec b$

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

$J = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w\end{vmatrix}$

Glej tudi

• integral

Zunanje povezave

• http://www.e-studij.si/Odvod
• WIMS Function Calculator makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
• ADIFF online symbolic derivatives calculator.

Podatki o pojmu Odvod so morda na razpolago tudi v katerem izmed sorodnih projektov Wikipedije:

Slovarske definicije v Wikislovarju
Učbeniki v Wikiknjigah
Navedki v Wikinavedku
Izvorna besedila v Wikiviru
Slike, zvok in animacije v Zbirki