Odvod

Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

To je članek, ki se navezuje na
Infinitezimalni račun
Osnovni izrek Limite funkcij Zveznost Izrek o srednji vrednosti Rollejev izrek
Diferencial Definicije Odvod (posplošitve) Diferencial infinitezimala funkcije popolni Koncepti Zapis za odvajanje Drugi odvod Tretji odvod Sprememba spremenljivk Implicitni odvod Povezana razmerja Taylorjev izrek Pravila in identitete Vsota Produkt Verižni Potenca Količnik Inverz Splošni Leibniz Faà di Brunova formula
Integral Seznami integralov Definicije Primitivna funkcija Integral (nepravilni) Riemannov integral Lebesgueovo integriranje Obrisno integriranje Integriranje po Delih Diskih Valjnih lupinah Uvedba nove spremenljivke (trigonometrična) Delni ulomki Red Redukcijske formule
Vrste Geometrična (arimetično-geometrična) Harmonična Alternirajoča Potenčna Binomska Taylorjeva Konvergentni testi Limita vsote (členitveni test) Primerjalni x Korenski x Integralni Neposredna primerjava Limitna primerjava Alternirajoče vsote Cauchyjev kondenzacijski Dirichletov Abelov
Vektor Gradient Divergenca Rotor Laplacian Smerni odvod Identitete Izreki Divergenčni Gradient Greenov Kelvin–Stokesov Stokesov
Več spremenljivk Formalizmi Matrike Tenzorji Zunanji Geometrični Definicije Parcialni odvod Večkratni integral Črtni integral Površinski integral Prostorninski integral Jacobijev Hessova
Specializirani Frakcijski Malliavinov Stohastični Variacijski
Slovar infinitezimalnega računa Slovar infinitezimalnega računa

Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Diferenciacija in izpeljava

$m={{\mbox{sprememba v }}y \over {\mbox{sprememba v }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}$

Definicija z diferenčnim količnikom

Naj bo $y=f(x)$ funkcija $x$-a.

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivost

Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.

Zapisovanje odvoda

Leibnizev zapis

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.$

Višje odvode zapišemo kot

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}$

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

${\dot {y}}$

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda

Pravila za sestavljanje funkcij

• odvod vsote/razlike:

$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,$

• odvod produkta:

$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,$

• odvod količnika:

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,$

• odvod kompozituma:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,$

Odvodi elementarnih funkcij

• odvod konstante: če je g(x) = c (konstanta), potem

$g'(x)=0\,\!$

• odvod potence: če je $f(x)=x^{r}\,$, kjer je r realno število, potem

$f'(x)=rx^{r-1}\,$,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi $f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,$ in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

• odvod eksponentne funkcije:
  • Naravna eksponentna funkcija $f(x)=e^{x}\,\!$ se pri odvajanju ne spremeni: $f'(x)=e^{x}\,\!$.
  • V splošnem pa je odvod funkcije $f(x)=a^{x}\,\!$ enak $f'(x)=a^{x}\ln a\,\!$.

• odvod logaritemske funkcije:
  • Naravna logaritemska funkcija $f(x)=\ln x\,\!$ ima odvod $f'(x)={\frac {1}{x}}$.
  • V splošnem je odvod logaritemske funkcije $f(x)=\log _{a}x\,\!$ enak $f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}$.

Odvodi trigonometrijskih funkcij

$(\sin x)'=\cos x\!$

$(\cos x)'=-\sin x\!$

$(\sin 2x)'=2\cos 2x\!$

$(\cos 2x)'=-2\sin 2x\!$

$(\sin(nx))'=n\cos(nx)\!$

$(\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!$

$(\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!$

$(\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!$

$(\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!$

$(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0$

$(\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0$

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Odvodi drugih funkcij:

$(k)'=0$(k)' je konstanta

$(e^{x})'=e^{x}$

$(\ln |x|)'={\frac {1}{x}}$

$(a^{x})'=a^{x}\ln a$

Odvajanje v višjih razsežnostih

Smerni odvod

Naj bo $n$ skalarno polje in ${\vec {b}}$ neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja ${\vec {b}}$.

Ogledamo si izraz

$\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}$

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri ${\vec {b}}$

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!$

Sledi

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}$

pri čemer je ${\vec {b}}$ enotski vektor.

Torej

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}$ enotski

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}$

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

$J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}$

Glej tudi

• integral

Zunanje povezave

• http://www.e-studij.si/Odvod
• WIMS Function Calculator makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
• ADIFF online symbolic derivatives calculator.

Podatki o pojmu Odvod so morda na razpolago tudi v katerem izmed sorodnih projektov Wikipedije:

Slovarske definicije v Wikislovarju
Učbeniki v Wikiknjigah
Navedki v Wikinavedku
Izvorna besedila v Wikiviru
Slike, zvok in animacije v Zbirki