Odvod

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Diferenciacija in izpeljava[uredi | uredi kodo]

m={\mbox{sprememba v } y \over \mbox{sprememba v } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}

Definicija z diferenčnim količnikom[uredi | uredi kodo]

Naj bo y = f(x) funkcija x-a.

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivost[uredi | uredi kodo]

Odvod kot funkcija[uredi | uredi kodo]

Višji odvodi[uredi | uredi kodo]

Zapisovanje odvoda[uredi | uredi kodo]

Leibnizev zapis[uredi | uredi kodo]

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

\frac{dy}{dx},\quad\frac{d \bigl(f(x)\bigr)}{dx},\;\;\mathrm{ali}\;\; \frac{d}{dx}\bigl(f(x)\bigr).

Višje odvode zapišemo kot

\frac{d^ny}{dx^n},\quad \frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n},\;\;\mathrm{ali}\;\;\frac{d^n}{dx^n}\bigl(f(x)\bigr)

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis[uredi | uredi kodo]

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis[uredi | uredi kodo]

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

\dot y

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis[uredi | uredi kodo]

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Tabela odvodov.

Pravila za sestavljanje funkcij[uredi | uredi kodo]

  • odvod vsote:
(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\!\,
  • odvod produkta:
(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,
  • odvod količnika:
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\!\,
  • odvod kompozituma:
(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,

Odvodi elementarnih funkcij[uredi | uredi kodo]

  • odvod konstante: če je f(x) = c (konstanta), potem
f'(x) = 0\,\!
 f'(x) = rx^{r-1}\,,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi  f'(x) = (1/2)x^{-1/2}\, in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

  • odvod eksponentne funkcije:
    • Naravna eksponentna funkcija f(x) = e^x\,\! se pri odvajanju ne spremeni:  f'(x) = e^x\,\!.
    • V splošnem pa je odvod funkcije f(x) = a^x\,\! enak  f'(x) = a^x \ln a\,\!.
  • odvod logaritemske funkcije:
    • Naravna logaritemska funkcija f(x)=\ln x\,\! ima odvod  f'(x) = \frac{1}{x}.
    • V splošnem je odvod logaritemske funkcije f(x)=\log_a x\,\! enak  f'(x) = \frac{1}{x \ln a}.

Odvodi trigonometrijskih funkcij[uredi | uredi kodo]

 (\sin x)' = \cos x\!

 (\cos x)' = -\sin x\!

 (\sin 2x)' = 2\cos 2x\!

 (\cos 2x)' = -2\sin 2x\!

 (\sin(nx))' = n\cos(nx)\!

 (\sin^2x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\!

 (\cos^2x)' = -2\sin x \cos x = -\sin 2x\!

 (\sin^nx)' = n \sin^{(n-1)}x \cos x\!

 (\cos^nx)' = -n \sin x \cos^{(n-1)}x\!

 (tgx)' = \frac{1}{\cos^2x}; cosx≠0

 (ctgx)' = \frac{-1}{\sin^2x}; sinx≠0

(arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}

Odvodi drugih funkcij:[uredi | uredi kodo]

(k)'=0(k)' je konstanta

 (e^x)'=e^x

(ln|x|)'=\frac{1}{x}

 (a^x)'=a^x lna

Odvajanje v višjih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Odvajanje vektorskih funkcij[uredi | uredi kodo]

Parcialno odvajanje[uredi | uredi kodo]

Smerni odvod[uredi | uredi kodo]

Naj bo n skalarno polje in \vec b neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja \vec b.

Ogledamo si izraz

\lim_{h \to 0} \frac{u(x+hb_1, y+hb_2, z+hb_3) - u(x,y,z)}{h} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b}

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri \vec b

\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}h} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}h} + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}h} + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}z} \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}h}\,\!

Sledi

\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} b_1 + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}y} b_2 + \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}z} b_3
pri čemer je \vec b enotski vektor.

Torej

\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \mbox{grad}\,u (b_1, b_2, b_3) = \mbox{grad}\, u\vec b,\qquad \vec b enotski
\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\vec b} = \mbox{grad}\, u \cdot \vec b

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial[uredi | uredi kodo]

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

J = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w\end{vmatrix}

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Podatki o pojmu Odvod so morda na razpolago tudi v katerem izmed sorodnih projektov Wikipedije:

* Slovarske definicije v Wikislovarju
* Učbeniki v Wikiknjigah
* Navedki v Wikinavedku
* Izvorna besedila v Wikiviru
* Slike, zvok in animacije v Zbirki