Potenčna vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Poténčna vŕsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:

kjer je an koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a. Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije.

V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti. Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:

Uporaba potenčnih vrst[uredi | uredi kodo]

Potenčne vrste se uporabljajo prvenstveno v analizi, pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije. Tudi na splošno znani desetiški zapis celih števil se lahko gleda kot na potenčno vrsto, kjer je argument x določen kot 10. V teoriji števil je pojem p-adičnih števil v tesni zvezi s potenčnimi vrstami.

Zgledi potenčnih vrst[uredi | uredi kodo]

Elementarne funkcije[uredi | uredi kodo]

Vsak polinom se lahko razvije v potenčno vrsto okrog poljubne točke a, čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom se lahko na primer zapiše kot potenčno vrsto s središčem a = 0 kot:

ali okrog središča kot:

ali v resnici okrog poljubnega središča a. Na potenčne vrste se lahko gleda kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.

Geometrična vrsta:

je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija:

Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst. Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:

Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta ni potenčna vrsta, je pa Laurentova vrsta. Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je . Takšni primeri so Puiseuxove vrste. Koeficienti ne smejo biti odvisni od spremenljivke . Tako na primer vrsta:

ni potenčna vrsta.

Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:

Neelementarne funkcije[uredi | uredi kodo]

S potenčnimi vrstami se lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvije elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:

ki ni elementaren. Funkcijo se razvije v potenčno vrsto:

Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in se jo lahko integrira po členih:

Konvergenčni polmer[uredi | uredi kodo]

Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r, 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |xa| < r konvergirala in divergirala za |xa| > r. Število r (tudi označbi R ali ) se imenuje konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:

oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):

(glej največja in najmanjša limita). Če limita obstaja, se jo lahko izračuna kot:

Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:

  • - potenčna vrsta divergira,
  • - v splošnem se ne da reči ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x, če vrsta konvergira v x.

Operacije s potenčnimi vrstami[uredi | uredi kodo]

Seštevanje in odštevanje[uredi | uredi kodo]

Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okrog istega središča a, se lahko dobi vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:

je enaka:

Množenje in deljenje[uredi | uredi kodo]

Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:

Zaporedje je znano kot konvolucija zaporedja in .

Za kvocient je:

in se uporabi produkt z upoštevanjem koeficientov.

Odvajanje in integriranje[uredi | uredi kodo]

Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna, če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko se jo brez težav odvaja ali integrira po členih:

Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]