Lambertova vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Lambertova vŕsta [lámbertova ~] je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil neskončna vrsta oblike:

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku, astronomu in filozofu Johannu Heinrichu Lambertu. Lahko se strne formalno z razvojem imenovalca:

kjer so koeficienti nove vrste dani z Dirichletovo konvolucijo koeficientov s konstantno funkcijo :

Ta vrsta se lahko obrne z Möbiusovo inverzno formulo in je zgled Möbiusove transformacije.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Ker je zadnja vsota tipična vsota teorije števil, bodo skoraj vse naravne multiplikativne funkcije eksaktno seštevljive pri uporabi v Lambertovi vrsti. Tako je na primer:

kjer je funkcija števila pozitivnih deliteljev števila .

Za funkcije deliteljev višjega reda je:

kjer je poljubno kompleksno število,

pa je funkcija deliteljev.

Lambertovo vrsto v kateri so koeficienti trigonometrične funkcije, na primer , se lahko izračuna z različnimi kombinacijami logaritemskega odvoda Jacobijevih funkcij ϑ.

Druge Lambertove vrste so tudi za Möbiusovo funkcijo :

Za Eulerjevo funkcijo :

Za Liouvillovo funkcijo :

kjer je vsota na levi podobna Ramanudžanovi funkciji ϑ.

Sorodno za alternirajočo vrsto oblike:

kjer je število predstavitev v obliki , kjer sta in racionalni celi števili. Obakrat je Jacobijeva eliptična funkcija izražena kot funkcija ϑ.

Alternativna oblika[uredi | uredi kodo]

Če se zamenja spremenljivka , se dobi druga običajna oblika za Lambertovo vrsto:

kjer so koeficienti dani z:

enako kot prej. Primeri Lambertovih vrst v tej obliki z se pojavljajo za Riemannovo funkcijo za vrednosti lihih celih števil. Za podrobnosti glej konstanta zeta.

Trenutna raba[uredi | uredi kodo]

Viri navajajo Lambertovo vrsto za različne vrste vsot. Ker je na primer funkcija polilogaritma, se lahko vsaka vsota oblike:

obravnava kot Lambertova vrsta, pri čemer so parametri ustrezno omejeni. Tako se lahko:

za vse kompleksne , ki ne ležijo na enotski krožnici, obravnava kot enakost Lambertove vrste. Enakost sledi neposredno iz nekaterih enakosti, ki jih je objavil Ramanudžan. Zelo temeljite raziskave Ramanudžanovega dela se lahko najdejo v Berndtovem delu.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]