Primitivna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Primitívna fúnkcija ali prvôtna fúnkcija dane (izvorne) funkcije je v infinitezimalnem računu in matematični analizi funkcija , katere odvod je enak :

Postopek reševanja za primitivne funkcije je iskanje nedoločenega integrala. Primitivne funkcije so povezane z določenimi integrali prek osnovnega izreka matematične analize in omogočajo primerne načine za računanje določenih integralov mnogih funkcij.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Funkcija je primitivna funkcija od . Ker je odvod konstante enak 0, bo za obstajalo neskončno mnogo primitivnih funkcij, na primer: , , , itd. Družina vseh primitivnih funkcij bo tako imela obliko , kjer je C poljubna konstanta, znana kot aditivna konstanta, konstanta integracije ali integracijska konstanta. Grafi primitivnih funkcij dane funkcije so navpično premaknjeni po ordinatni osi in lega vsakega grafa je odvisna od vrednosti C.

Polinomi in racionalne funkcije
Trigonometrične in krožne funkcije
Eksponentne in logaritemske funkcije

Uporabe in značilnosti[uredi | uredi kodo]

Primitivne funkcije so pomembne, ker z njimi lahko rešimo določene integrale s pomočjo osnovnega izreka matematične analize. Če je primitivna funkcija integrabilne funkcije , potem velja:

Zaradi tega se včasih neskončno mnogo primitivnih funkcij dane funkcije imenuje »splošni integral« ali »nedoločeni integral« funkcije in se zapiše s simbolom za integral brez mej:

Če je primitivna funkcija in je funkcija definirana na kakšnem intervalu, se vsaka druga primitivna funkcija funkcije razlikuje od za konstanto. Obstaja takšno število C, da velja za vse x. C je poljubna aditivna konstanta.

Če je domena disjunktna unija dveh ali več intervalov, lahko za vsak interval izberemo različne aditivne konstante. Na primer:

je najbolj splošna primitivna funkcija na svoji naravni domeni

Vsaka zvezna funkcija ima primitivno funkcijo in ena primitivna funkcija je dana z določenim integralom , kjer je spremenljivka zgornja meja:

Če spreminjamo spodnjo mejo, dobimo druge primitivne funkcije, ne pa nujno vseh možnih. To je druga predstavitev osnovnega izreka matematične analize.

Obstaja mnogo funkcij, katerih primitivne funkcije, čeprav obstajajo, ni moč izraziti z elementarnimi funkcijami kot so polinomi, eksponenetne funkcije, logaritmi, trigonometrične funkcije, obratne trigonometrične funkcije ali njihove kombinacije. Zgledi takšnih funkcij so:

Z diferencialno Galoisovo teorijo se lahko določi ali ima elementarna funkcija primitivno funkcijo, ki se jo lahko izrazi kot elementarno.

Tehnike integracije[uredi | uredi kodo]

Iskanje primitivnih funkcij elementarnih funkcij je pogosto veliko težje kot iskanje njihovih odvodov. Za nekatere elementarne funkcije je nemogoče najti primitivne funkcije, izražene z drugimi elementarnimi funkcijami.

Na razpolago imamo več različnih metod:

Primitivne funkcije nezveznih funkcij[uredi | uredi kodo]

Za boljšo predstavo podrobnosti osnovnega izreka analize je poučno, če premislimo kakšne vrste nezveznih funkcija imajo lahko primitivne funkcije. Čeprav so še nerešena vprašanja, je znano:

  • da imajo lahko nekatere zelo patološke funkcije z velikimi množicami nezveznosti vseeno primitivne funkcije,
  • da lahko v nekaterih primerih poiščemo primitivne funkcije takšnih patoloških funkcij z Riemannovim integralom, v drugih pa niso integrabilne po Riemannu.

Sledi nekaj splošnih značilnosti, ki jim sledi nekaj zgledov. Vseskozi predpostavimo, da so domene funkcij odprti intervali.

  • potreben, vendar nezadosten pogoj, da ima funkcija primitivno funkcijo, je, da ima značilnost vmesne vrednosti. To pomeni, če je [a,b] podinterval domene in je d realno število med in , potem velja za neki c med a in b. Naj bo primitivna funkcija in naj je zvezna funkcija na zaprtem intervalu [a, b]. Potem mora imeti ali maksimum ali minumum c na odprtem intervalu (a,b), tako da je ,
  • množica nezveznosti mora biti suha množica. Ta množica mora biti tudi množica , ker mora takšna biti množica nezveznosti katerekoli funkcije. Za poljubno suho množico lahko skonstruiramo kakšno funkcijo s primitivno funkcijo, ki ima za dano množico svojo množico nezveznosti,
  • če ima primitivno funkcijo, če je omejena na zaprtih končnih podintervalih domene, in, če ima množico nezveznosti z Lebesguovo mero enako 0, lahko njeno primitivno funkcijo poiščemo z integracijo,
  • če ima primitivno funkcijo na zaprtem intervalu [a,b], potem se, če za vsako izbiro particije izberemo vzorčne točke po izreku o povprečni vrednosti, odgovarjajoča Riemannova vsota izteguje k vrednosti :
Če ima množica nezveznosti pozitivno Lebesguovo mero, bo druga izbira vzorčnih točk dala precej različno vrednost za Riemannovo vsoto, ne glede na to kako nadrobna je particija.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

  1. Funkcija:
    z vrednostjo v točki ni zvezna, ima pa primitivno funkcijo:
    z vrednostjo . Ker je omejena na zaprtih končnih intervalih in je nezvezna edino v točki 0, lahko njeno primitivno funkcijo določimo z integracijo: .
  2. Funkcija:
    z vrednostjo ni zvezna v točki , njena primitivna funkcija pa obstaja:
    z vrednostjo . Z razliko kot v prvem zgledu je neomejena v vsakem intervalu, ki vsebuje 0, tako da je Riemannov integral nedoločen.
  3. Če je funkcija iz prvega zgleda in njena primitivna funkcija, ter gosta števna podmnožica odprtega intervala , ima funkcija:

    primitivno funkcijo:

    Množica nezveznosti je ravno . Ker je omejena na zaprtih končnih intervalih in ima množica nezveznosti mero enako 0, lahko primitivno funkcijo poiščemo z integracijo.

  4. Naj je gosta števna podmnožica odprtega intervala . Naj je povsod zvezna strogo naraščajoča funkcija:

    Potem velja:

    Slika 1.
    Slika 2.

    za vse vrednosti x, kjer vrsta konvergira in ima graf F(x) navpične tangente pri vseh drugih vrednostih x. Še posebej ima graf navpične tangente v vseh točkah množice .

    Velja še naprej za vse x kjer je odvod določen. Sledi, da je obratna funkcija povsod odvedljiva in:

    za vse x v množici , ki je gosta na intervalu . Tako ima primitivno funkcijo . Na drugi strani ne more veljati:

    ker lahko za vsako particijo izberemo vzorčne točke Riemannove vsote iz množice , ki dajo vrednost za vsoto enako 0. Sledi, da ima množico nezveznosti s pozitivno Lebesguovo mero. Slika 1 prikazuje približek za graf , kjer je in je vzetih prvih 8 členov. Slika 2 prikazuje graf približka primitivne funkcije , tudi s prvimi 8. členi. Če Riemannov integral zamenjamo z Lebesguovim integralom, potem Fatouova lema ali Lebesguov izrek o prevladujoči konvergenci pokažeta, da v tem smislu zadovoljuje osnovni izrek analize.

  5. V zgledih 3 in 4 sta množici nezveznosti funkcij gosti le v končnem zaprtem intervalu . Takšne primere lahko priredimo tako, da bodo množice nezveznosti goste na celotni realni premici . Naj je:
    Potem ima gosto množico nezveznosti na in njena primitivna funkcija je
  6. S podobnim postopkom kot v petem zgledu lahko popravimo funkcijo iz četrtega zgleda, da ne bo imela racionalnih vrednosti. Če uporabimo naivno različico Riemannovega integrala, ki je določena kot limita leve strani ali kot Riemannova vsota desne strani prek regularnih particij, lahko ugotovimo, da je integral takšne funkcije čez interval enak 0, čeprav sta a in b oba racionalna, namesto . Na ta način osnovni izrek analize ne bo veljal.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]