Določeni integral

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Določeni integral je matematična operacija. Izračunamo ga tako, da najprej izračunamo nedoločeni integral, nato pa še vstavimo gornjo in spodnjo mejo. Geometrijski pomen določenega integrala je ploščina pod integrirano funkcijo.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo funkcija ene spremenljivke, na zaprtem intervalu definirana in omejena funkcija. Označimo z delitev intervala , ki je množica delilnih točk:

K definiciji določenega integrala

Takšna delitev razdeli interval na podintervalov za . Dolžina k-tega podintervala je . Označimo z maskimalno izmed dolžin podintervalov. To je:

Določeni integral integrabilne funkcije na zaprtem intervalu je:

,

Ali z besedami: če limita obstaja in je neodvisna od izbire delitve ali vmesnih točk , potem je enaka določenemu integralu funkcije na danem intervalu.

Meji intervala sta meji integracije, določata integracijski interval. Meji a rečemo spodnja meja, meji b pa zgornja meja integrala. x je integracijska spremenljivka. Določeni integral pozitivne funkcije na danem intervalu je ploščina krivočrtnega lika med funkcijo in osjo x na tem intervalu.

Razlog za obstoj limite (integrabilnost funkcije)[uredi | uredi kodo]

Poglejmo, kako se obnaša ta vsota, ko delamo bolj fine delitve. Definirajmo infimume (minimume) in supremume (maksimume) funkcije na podintervalih pri dani delitvi in nato tvorimo zgornjo in spodnjo vsoto. Bodi torej:

največja vrednost funkcije na intervalu ,

najmanjša vrednost funkcije na intervalu .

Ter še dodatno, največja vrednost funkcije na celotnem intervalu ter najmanjša vrednost funkcije na istem intervalu .

Zgornja vsota funkcije pri delitvi je potem:

in spodnja vsota:

Vedno velja, da je , zato tudi:

Pri izbiri druge delitve , intervala velja glede na prejšnjo delitev dvoje:

  • , če je finejša od in

Vedno je zgornja vsota večja od spodnje in pri izbiri finejše delitve postaja spodnja vsota večja, zgornja pa manjša. Pri izbiri finejše delitve se moreta spodnja in zgornja vsota približevati neki vrednosti. Mislimo si, da vsaki delitvi intervala funkciji pripada neka spodnja in zgornja vsota. Pri več delitvah imamo množici zgornjih in spodnjih vsot. Če je najmanjša med zgornjimi vsotami enaka največji med spodnjimi vsotami, potem imenujemo funkcijo integrabilno na intervalu . Povejmo tale pogoj za integrabilnost funkcije:

Funkcija je integrabilna na če in samo če za vsako pozitivno število obstaja takšna delitev intervala , da je:

.

Vsaka zvezna funkcija je integrabilna. Vsaka monotona funkcija (venomer naraščajoča ali padajoča) je integrabilna. Vsaka odsekoma zvezna omejena funkcija je integrabilna.

Zgled neposrednega računanja integralov[uredi | uredi kodo]

Izračunajmo ploščino lika, ki ga ograja funkcije na intervalu .

Naredimo enakomerno delitev intervala (čeprav to ni pomembno), tako da ga razdelimo na enakih delov dolžine . Za točke vzamemo sredinske točke intervalov in tvorimo vsoto:

Kjer je kar širina intervala . Vsoto malo razvijemo in vidimo, da se vsi členi razen drugega in predzadnjega uničijo. Tako je:

Integral je limita:

Kar znese v našem primeru .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]