Limita funkcije

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Limita funkcije na sliki obstaja in je enaka 4, saj so za vnaprej izbran (poljubno ozek, na sliki rumeni) pas okoli vrednosti 4 vse vrednosti f(x) od nekega x naprej v njegovi notranjosti

Limíta fúnkcije v točki a je število, ki se mu vrednost funkcije f(x) približuje, ko se vrednost spremenljivke x približuje danemu številu a.

Limito funkcije v točki a označimo (beri: "limita f(x), ko gre x proti a).

Limita funkcije v točki a je enaka funkcijski vrednosti f(a), če in samo če je funkcija v točki a zvezna.

Matematična definicija[uredi | uredi kodo]

Limita funkcije je definirana s pomočjo limite zaporedja.

Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo zaporedje xn, ki ima limito a. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti yn = f(xn). Če ima dobljeno zaporedje yn limito b in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje xn, ki gre proti a, potem število b imenujemo limita funkcije f v točki a.

Računanje limite[uredi | uredi kodo]

Krajšanje[uredi | uredi kodo]

V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni a.

Zgled: funkcija pri x = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito:

Torej za zgornjo funkcijo velja: če se x približuje vrednosti 3, se f(x) približuje vrednosti 3/2.

L'Hôpitalovo pravilo[uredi | uredi kodo]

Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je l'Hôpitalovo pravilo. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre x proti a), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja:

Zgled za uporabo l'Hôpitalovega pravila: