Izrek o povprečni vrednosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za vsako funkcijo, ki je zvezna na [ab] in odvedljiva na (ab), obstaja neka točka c na odprtem intervalu (ab), da je sekanta, ki povezuje obe končni točki intervala [ab], vzporedna tangenti v c.

Izrèk o povpréčni vrédnosti (tudi Lagrangeev izrèk ali izrèk o kônčnem prirástku fúnkcije) je v matematični analizi izrek, ki pravi, da v danem odseku gladke krivulje obstaja točka, v kateri je odvod (nagib) krivulje enak »povprečnemu« odvodu intervala. Izrek se uporablja pri dokazovanju izrekov, ki obravnavajo funkcije na intervalu.

Povprečna vrednost integrabilne funkcije na intervalu je število:

Izrek lahko razumemo tudi s pomočjo gibanja. Če avtomobil prepotuje v eni uri 100 km in je njegova povprečna hitrost enaka 100 km/h, potem je morala biti v nekem trenutku njegova trenutna hitrost enaka natačno 100 km/h.

Izrek je prvi razvil Joseph-Louis de Lagrange in se imenuje tudi po njem.

Formalna izjava[uredi | uredi kodo]

Naj je funkcija v zaprtem intervalu zvezna in v odprtem intervalu odvedljiva. Tedaj obstaja vsaj eno takšno število med a in b, da je:

Če pišemo drugače, in označimo s število med 0 in 1:

Posplošitev Lagrangeevega izreka je Taylorjev izrek.

Dokaz[uredi | uredi kodo]