Eksponentni integral

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Grafa funkcij E1 (zgoraj) in Ei (spodaj)

Eksponéntni integrál (tudi integrálna eksponéntna fúnkcija,[1]:203 označba Ei) je v matematiki specialna nelementarna funkcija v kompleksni ravnini. Definirana je kot poseben določeni integral razmerja med eksponentno funkcijo in njegovim argumentom.

Definicije[uredi | uredi kodo]

Za realne neničelne vrednosti x je eksponentni integral Ei(x) definiran kot:

Rischev algoritem pokaže, da funkcija Ei ni elementarna. Zgornja definicija se lahko uporabi za pozitivne vrednosti x, vendar je treba integral razumeti v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti zaradi singularnosti integranda v točki 0.

Za kompleksne vrednosti argumenta je ta definicija dvoumna zaradi vejišč v 0 in .[2] Zaradi tega se namesto Ei uporablja naslednji zapis:[3]

V splošnem je prerez vejišča vzet na negativni realni osi in se lahko funkcija E1 definira z analitičnim nadaljevanjem vseepovsod drugod v kompleksni ravnini.

Za pozitivne vrednosti realnega dela se lahko to zapiše kot:[4]

Obnašanje funkcije E1 blizu prereza vejišča se lahko vidi z naslednjim izrazom:[5]

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Več spodnjih značilnosti eksponentnega integrala v določenih primerih omogoča izogib eksplicitni določitvi vrednosti prek zgornje definicije.

Konvergentne vrste[uredi | uredi kodo]

Če se integrira Taylorjeva vrsta za in izloči logoritemska singularnost, se lahko izpelje naslednji razvoj v vrsto za funkcijo za realne :[6]

Za kompleksne argumente stran od negativne realne osi se to posploši v:[7]

kjer je Euler-Mascheronijeva konstanta. Vsota konvergira za vse kompleksne , tako da se za običajno vrenost kompleksnega logaritma vzame prerez vejišča vzdolž negativne realne osi.

S to formulo se lahko izračuna z operacijami s plavajočo vejico za realne med 0 in 2,5. Za je rezultat netočen zaradi izgube pomembnosti.

Hitreje konvergirajočo vrsto je našel Ramanudžan:

Asimptotične (divergentne) vrste[uredi | uredi kodo]

Relativna napaka asimptotičnega približka za različno število členov v prisekani vsoti

Konvergenca zgornje vrste je počasna za argumente z večjim modulom. Za je na primer potrebno več kot 40 členov za vrednost točno na tri decimalna mesta.[8] Obstaja pa približek z divergentno vrsto, ki se lahko dobi z integracijo po delih:[9]

z napako reda in velja za velike vrednosti . Relativna napaka zgornjega približka je prikazana na desni sliki za različne vrednosti členov v prisekani vsoti ( rdeče, rožnato).

Eksponentno in logaritemsko obnašanje: izenačevanje[uredi | uredi kodo]

Izenačevanje funkcije z dvema elementarnima funkcijama

Iz dveh vrst predlaganih v predhodnih razdelkih sledi, da se funkcija obnaša kot negativna eksponentna funkcija za velike vrednosti argumenta in kot logaritem za majhne vrednosti. Za pozitivne realne vrednosti argumenta se lahko funkcija izenači z elementarnimi funkcijami kot sledi:[10]

Leva stran te neenakosti je prikazana na levem grafu modro; osrednji del črno, desna stran pa rdeče.

Definicija s funkcijo Ein[uredi | uredi kodo]

Obe funkciji in se lahko zapišeta preprostejši obliki s pomočjo cele funkcije ,[11] definirane kot:

(to je le alternirajoča vrsta v zgornji definiciji funkcije ). Potem velja:

Povezava z drugimi funkcijami[uredi | uredi kodo]

EKsponentni integral je v tesni povezavi z logaritemskim integralom li(x) s formulo:

za pozitivne realne vrednosti .

Eksponentni integral se lahko posploši na:

kar se lahko zapiše kot poseben primer nepopolne funkcije gama:[12]

Posplošena oblika se včasih imenuje Misrova funkcija,[13] , definirana kot:

Z upoštevanjem logaritma se definira posplošena integralsko-eksponentna funkcija:[14]

Nedoločeni integral:

je po obliki podoben navadni rodovni funkciji za , številu deliteljev :

Odvajanje[uredi | uredi kodo]

Odvode posplošenih funkcij se lahko izračuna s formulo:[15]

Funkcija se preprosto izračuna, zaradi česar je ta rekurzija uporabna, ker velja .[16]

Eksponentni integral imaginarnega argumenta[uredi | uredi kodo]

Graf funkcije v odvisnosti od ; realni del črno, imaginarni del rdeče.

Če je imaginaren, ima nenegativni realni del, tako da se lahko uporabi formula:

za povezavo s trigonometričnima integraloma in :

Realna in imaginarna dela funkcije sta prikazana na desni sliki s črno in rdečo krivuljo.

Računanje in približki[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo eksponentnega integrala obstaja več približkov. Med njimi so:

  • približek Swameeja in Ohije:[17]
kjer je in ,
kjer je , , in ,
  • približek Barryja s sodelavcema:[19]
kjer je , , , , , in tu Euler-Mascheronijeva konstanta.

Posebne vrednosti[uredi | uredi kodo]

(OEIS A091725),

Ničla () ima vrednost:

(OEIS A091723).

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]