Eksponentna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Grafi eksponentnih funkcij z osnovo a > 1
Naravna eksponentna funkcija f(x) = ex

Eksponéntna fúnkcija je matematična funkcija z enačbo oblike f(x) = ax, pri čemer je število a pozitivno in različno od 1. Število a imenujemo osnova ali baza eksponentne funkcije.

Eksponentna funkcija, ki ima za osnovo Eulerjevo število e ≈ 2.718 281 828 se imenuje naravna eksponentna funkcija: f(x) = ex. To funkcijo se včasih zapiše tudi kot: f(x) = exp x.

Lastnosti eksponentne funkcije v realnem[uredi | uredi kodo]

Eksponentna funkcija kot realna funkcija realne spremenljivke ima naslednje lastnosti:

  • Vrednost funkcije je vedno pozitivna - funkcija je navzdol omejena z 0.
  • Eksponentna funkcija je navzgor neomejena.
  • Če je osnova a večja od 1, funkcija narašča.
  • Če je osnova a med 0 in 1, funkcija pada.

Inverz eksponentne funkcije z osnovo a je logaritemska funkcija z isto osnovo. Inverz naravne eksponentne funkcije je naravna logaritemska funkcija ln x.

Naravna eksponentna funkcija je posebej pomembna v povezavi z odvajanjem in integriranjem: pri teh dveh operacijah se namreč ne spremeni:

f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x
f(x)=e^x \Rightarrow \int f(x)\,dx=e^x+C

Posledica tega je dejstvo, da lahko naravno eksponentno funkcijo zelo preprosto zapišemo v obliki potenčne vrste:

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots

Eksponentna funkcija v kompleksnem[uredi | uredi kodo]

Pri računanju vrednosti naravne eksponentne funkcije za kompleksni argument si pomagamo s pravilom:

e^{iy}=\cos y +i\,\sin y

Oziroma splošneje:

e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y +i\,\sin y)

S tem pravilom je povezana tudi slavna Eulerjeva enačba, ki povezuje pet najpomembnejših matematičnih konstant in tri osnovne računske operacije:

e^{i\pi}+1=0\,