Inverzna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Inverzna funkcija (kratko tudi inverz) je v matematiki funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija f. Inverz funkcije f označimo f −1.

Graf inverzne funkcije dobimo tako, da graf prvotne funkcije prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov (premico y = x.

Funkcija f: AB ima inverz samo, če je bijektivna. V tem primeru je inverz funkcija f −1: BA, ki je tudi bijektivna. Če funkcija f preslika element x v y, potem inverzna funkcija f −1 preslika y v x.

f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)

Zgledi:

  • funkcija, ki deluje obratno kot prištevanje 3, je odštevanje 3:
f(x)=x+3 \iff f^{-1}(x)=x-3
  • funkcija, ki deluje obratno kot množenje s 3, je deljenje s 3:
f(x)=3x \iff f^{-1}(x)=\frac{x}{3}
  • funkcija, ki deluje obratno kot potenciranje na 3, je tretji koren:
f(x)=x^3 \iff f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}

Če izračunamo kompozitum funkcije f in njenega inverza (v poljubnem vrstnem redu), dobimo identično funkcijo:

f\circ f^{-1}=id
f^{-1}\circ f=id

Oziroma drugače zapisano:

f(f^{-1}(x))=x\,
f^{-1}(f(x))=x\,


Delni inverz[uredi | uredi kodo]

Kvadratni koren je delni inverz kvadriranja (je inverz samo za nenegativne vrednosti x).

Če funkcija f: AB ni bijektivna, inverz ne obstaja. V takem primeru pogosto množici zožimo (nadomestimo s podmnožicama A1 in B1) tako, da je dobljena funkcija f: A1B1 bijektivna. Dobljena funkcija ima inverz, vendar samo v okviru zoženih množic A1 in B1. Tak inverz imenujemo delni inverz.

Zgled: Funkcija f(x) = x2 ni bijektivna funkcija f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} in zato nima inverza. Če se omejimo samo na nenengativna števila, pa ugotovimo, da je ta ista funkcija bijektivna kot funkcija f:\mathbb{R}^+_0\to\mathbb{R}^+_0. V tem smislu obstaja tudi inverz, ki je enak f^{-1}(x)=\sqrt{x}.