Elementarna funkcija

Graf elementarne funkcije $\textstyle x\mapsto {\sqrt {|x|}}+1$

Elementárna fúnkcija je v matematiki funkcija, ki jo je moč sestaviti iz končnega števila osnovnih elementarnih funkcij, kot so:

• polinomi (cele racionalne),
• racionalne,
• potenčne,
• eksponentne in logaritemske,
• trigonometrične in obratne trigonometrične,

konstant, ene spremenljivke in korenov s pomočjo kompozicij in kombinacij s štirimi dvočlenimi elementarnimi operacijami (+ - × ÷). Trigonometrične funkcije in njihovi obrati so elementarne funkcije, kjer nastopajo kompleksne spremenljivke. Vsako elementarno funkcijo lahko podamo z enačbo, naborom končnega števila simbolov z odgovarjajočimi operacijami.

Koreni enačb so funkcije implicitno določeni kot rešitve polinomske enačbe s konstantnimi koeficienti. Za polinome stopnje 4 ali manjše obstajajo točne enačbe za korene, ki so elementarne funkcije. Tudi za polinome večjih stopenj osnovni izrek algebre in izrek o implicitni funkciji zagotavljata obstoj funkcije, ki da vsak koren polinomske enačbe.

Graf neelementarne funkcije - funkcije napake ${\begin{aligned}&\textstyle x\mapsto \mathrm {erf} (x)\end{aligned}}$

Zgleda drugih elementarnih funkcij sta:

${\frac {e^{\operatorname {tg} \,x}}{1-x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)\!\,,$

s kompleksnima korenoma ($e^{i},e^{-i}$) in:

$\,\ln(-x^{2})\!\,,$

s kompleksnima korenoma ($i,-i$). Definicijsko območje zadnje funkcije ne vsebuje nobenega realnega števila. Zgled funkcije, ki ni elementarna, je funkcija napake:

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\!\,.$

Dejstvo, da je ta funkcija neelementarna, ni neposredno razvidno iz njene opredelitve - lahko pa se pokaže s pomočjo Rischevega algoritma.

Elementarne funkcije je v splošnem uvedel Joseph Liouville v nizu člankov med letoma 1833 in 1841. Algebrsko obravnavo elementarnih funkcij je začel Joseph Fels Ritt v 30-ih 20. stoletja. Liouville je pri raziskovanju funkcij kompleksnih spremenljivk opredelil elementarne funkcije nekoliko širše.

Diferencialna algebra

Matematično definicijo elementarane funkcije, oziroma funkcije v elementarni obliki, obravnava diferencialna algebra. Diferencialna algebra je algebra z dodatno operacijo odvajanja (algebrsko različico odvoda). S pomočjo te operacije je moč zapisati nove enačbe in njihove rešitve v razširitvi algebre. K obsegu racionalnih funkcij se lahko dodata dva posebna tipa transcendentnih razširitev (logaritemski in eksponentni), ki vsebujeta elementarne funkcije.

Diferencialni obseg F je obseg F₀ (na primer racionalne funkcije nad množico racionalnih števil Q) skupaj z diferencialno preslikavo u → ∂u. (Tukaj je ∂u nova funkcija. Včasih se uporablja zapis u ′.) Operacija obseže značilnosti odvajanja, tako da je za dva elementa osnovnega obsega, linearna:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v\!\,$

in zanjo velja Leibnizevo pravilo produkta:

$\partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\!\,.$

Element h je konstanta, če je ∂h = 0. Če je osnovni obseg obseg racionalnih števil, je treba biti previden pri njegovi razširitvi z ustreznimi transcendentnimi konstantami.

Funkcija u diferencialne razširitve F[u] diferencialnega obsega F je elementarna funkcija nad F , če je u:

• algebrska nad F, ali je
• eksponentna, da velja: ∂u = u ∂a za a ∈ F, ali je
• logaritemska, da velja: ∂u = ∂a / a za a ∈ F.

(to je Liouvilleov izrek).