Mercatorjeva vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Mercatorjeva vŕsta ali Newton-Mercatorjeva vŕsta [njúton-merkátorjeva ~] je v matematiki Taylorjeva vrsta za naravni logaritem. Dana je z:

za . Za kompleksne vrednosti x enolično konvergira k glavni vrednosti kompleksnega logaritma za vse x v odprtem enotskem disku.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Vrsto so neodvisno odkrili Nicholas Mercator, Isaac Newton in Grégoire de Saint-Vincent. Prvi jo je objavil Mercator v svoji razpravi Logarithmo-technica iz leta 1668.

Izpeljava[uredi | uredi kodo]

Taylorjevi polinomi za (1+x) so točni v območju -1 < x ≤ 1. Za x > 1 so Taylorjevi polinomi višje stopnje slabši približki

Vrsto se lahko izpelje s ponavljajočim odvajanjem naravnega logaritma. Odvod je:

Lahko se začne tudi z geometrično vrsto ()

ki da:

Sledi:

in z integracijo po členih:

Če je , je člen ostanka enak nič pri .

Posebni primeri[uredi | uredi kodo]

Pri je Mercatorjeva vrsta alternirajoča harmonična vrsta:

kjer je Dirichletova funkcija η.

Viri[uredi | uredi kodo]