Kvadratna funkcija

Kvadrátna fúnkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

f(x)=ax^{2}+bx+c\!\,,

kjer so koeficienti $a\!\,$ , $b\!\,$ in $c\!\,$ realna števila in je $a\!\,$ različen od 0 (če bi bil $a\!\,$ enak 0, bi bila to linearna funkcija).

Teme kvadratne funkcije

Kvadratno funkcijo se lahko vedno preoblikuje v temensko obliko:

f(x)=a(x-p)^{2}+q\!\,.

Števili $p\!\,$ in $q\!\,$ , ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kjer kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. Ta točka se imenuje tême: $T(p,q)\!\,$ .

Koordinati temena se izračuna po formulah:

p=-{\frac {b}{2a}}~~~~~~q={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\!\,.

Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.

Ničli kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli se izračuna po formuli:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\!\,.

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, se imenuje diskriminanta ( $D=b^{2}-4ac\!\,$ ) in se piše tudi:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\!\,.

Diskriminanta pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:

če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli &ndsash; graf seka os $x\!\,$ v dveh točkah.
če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo – graf se v eni točki dotika osi $x\!\,$ .
če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel – graf ne seka osi $x\!\,$ . (V kompleksnem se lahko izračuna dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordinatnem sistemu ne vidi).