Kvadratna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kvadrátna fúnkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

 f(x)=ax^2+bx+c \!\, ,

kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija).

Teme kvadratne funkcije[uredi | uredi kodo]

Graf funkcije f(x)=x^2-x-2

Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v temensko obliko:

 f(x)=a(x-p)^2+q \!\, .

Števili p in q, ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kjer kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. To točko imenujemo tême: T(p,q).

Koordinati temena izračunamo po formulah:

 p=-\frac{b}{2a}~~~~~~ q=\frac{4ac-b^2}{4a} \!\, .

Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.

Ničli kvadratne funkcije[uredi | uredi kodo]

Kvadratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:

 x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \!\, .

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo diskriminanta (D=b^2-4ac) in pišemo tudi:

 x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \!\, .

Diskriminanta nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:

  • če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os x v dveh točkah.
  • če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi x.
  • če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi x. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordinatnem sistemu ne vidi).

Če ima kvadratna funkcija ničli x_1, x_2, lahko njeno enačbo preoblikujemo v ničelno obliko:

 f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \!\, .

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

Posplošena kvadratna funkcija je funkcija f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

 f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x} \!\, ,

kjer je Q simetrična matrika razsežnosti n×n in c vektor razsežnosti n.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]