Arhimed

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Arhimed
Portret
Portret Arhimeda, Domenico Fetti, 1620
Izvirno ime Αρχιμήδης
Rojstvo Ἀρχιμήδης
287 pr. n. št.
Sirakuze
Smrt 212 pr. n. št.
Sirakuze
Druga imena Arhimedes
Področja matematika
fizika
statika
tehnika
astronomija
izumi
Poznan po Arhimedov aksiom
Arhimedov dvojček
Arhimedov krempelj
Arhimedov palimpsest
Arhimedov problem goveda
Arhimedov vijak
Arhimedov zakon
Arhimedova spirala
Arhimedova točka
Arhimedovo število
arhimedska krožnica
arhimedska spirala
približek za π

Arhimed (tudi Arhimedes) [arhiméd/arhimédes] (starogrško Αρχιμήδης: Arhimédes), starogrški matematik, fizik, mehanik, izumitelj, inženir in astronom,[1] * 287 pr. n. št., Sirakuze, Sicilija, † 212 pr. n. št., Sirakuze.

Čeprav je o njegovem življenju znanih samo nekaj podrobnosti, velja za največjega matematika antike in enega od največjih vseh časov.[2][3] Arhimed je s konceptom neskončno majhne količine in metodo izčrpavanja izpeljal in strogo dokazal vrsto geometrijskih izrekov, vključno s ploščino kroga, površino in prostornino krogle ter ploščino pod parabolo,[4] s čimer je že nakazal sodobni infinitezimalni račun in matematično analizo.

Med druge matematične dosežke spadajo točen približek števila π, ki ga je določil z analizo Arhimedove spirale, in eksponentno izražanje zelo velikih števil. Bil je tudi eden prvih, ki je uporabil matematiko za razlago fizikalnih pojavov, postavil temelje hidrostatike in statike, vključno z razlago delovanja vzvoda. Izumil je tudi več naprav, med njimi vijačno črpalko, škripčevje in vojaške stroje za obrambo Sirakuz.

Umrl je med obleganjem Sirakuz. Ubil ga je rimski vojak, čeprav je imel ukaz, da se mu ne sme nič zgoditi. Rimski govornik Cicero piše, da so mu na njegovo zahtevo na grob postavili kroglo in valj, ki sta simbolizirala njegova matematična odkritja.

Za razliko od njegovih izumov so bili njegovi matematični spisi v antiki bolj malo znani. Prebirali in navajali so jih matematiki iz Aleksandrije, prvi obširen zbornik njegovih del pa je nastal šele okoli leta 530. V Konstantinoplu ga je objavil bizantinski matematik, astronom in arhitekt Izidor iz Mileta. Komentarje Arhimedovih del, primerne tudi za širše bralstvo, je prvi napisal in objavil Evtokij v 6. stoletju. Srednji vek je preživelo razmeroma malo kopij Arhimedovih spisov, ki so kasneje postali pomemben vir zamisli za renesančne učenjake.[5] Leta 1906 so odkrili do tedaj neznan Arhimedov palimpsest, grški prepis Arhimedovih del iz 10. stoletja, ki je dal nove vpoglede v Arhimedove matematične metode.[6]

Življenje[uredi | uredi kodo]

Arhimed je bil rojen okoli leta 287 pr. n. št. v sicilskem pristaniškem mestu Sirakuze, ki je bilo tedaj samoupravna kolonija Magnae Graeciae ob obali južne Italije. Datum njegovega rojstva temelji na trditvi bizantinskega grškega zgodovinarja Ivana Ceca, da je živel 75 let.[7] Arhimed v Psamitu (O številu peščenih zrn) omenja, da je bil njegov oče astronom Fidij, o katerem ni nič znanega. Plutarh v svojih Vzporednih življenjih piše, da je bil Arhimed v sorodu s kraljem Hieronom II. Sirakuškim.[8] Arhimedov življenjepis, ki ga je napisal njegov prijatelj Herakleid, se je izgubil, zato so podrobnosti iz njegovega življenja nejasne.[9] Nič ni znanega na primer o tem, ali je bil poročen in imel otroke. V mladosti je morda študiral v Aleksandriji, kjer sta tedaj študirala tudi Konon s Samosa in Eratosten iz Kirene. Arhimed omenja, da je bil Konon njegov prijatelj, Eratostenu pa je posvetil uvoda v svojih Metodah mehanskih izrekov in Problemu goveda.

Cicerovo odkritje Arhimedovega groba, Benjamin West, 1805

Umrl je med drugo punsko vojno okoli leta 212 pr. n. št., ko je rimska vojska pod poveljstvom generala Marka Klavdija Marcela po dveh letih obleganja osvojila Sirakuze. Njegovo smrt ob zavzetju Sirakuz so opisali različno. Plutarh je o njej poročal takole:

»Usoda je hotela, da je bil pogreznjen v delo na nekem problemu in je osredotočil ves svoj razum in svoje oči na diagram, ki ga je raziskoval, in ni opazil, da so vdrli Rimljani in je mesto padlo. Ko se mu je približal rimski vojak in ga pozval, naj mu sledi k Marcelu, je to odklonil, dokler ne reši matematičnega problema. Vojaka je odgovor tako razjezil, da je potegnil meč in ga zaklal.«

Arhimedove zadnje besede naj bi bile »Ne dotikaj se mojih krogov!« (latinsko Noli turbare circulos meos!, grško μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε! [Mē mou tous kuklous taratte!]),[10] se pravi matematičnega grafa, ki ga je ravno preučeval. Za to trditev ni nobenega trdnega dokaza, ker ni omenjena v nobenem Plutarhovem zapisu.

Plutarh ponuja tudi drug, manj znan opis njegove smrti. V njem pravi, da so ga ubili med poskusom predaje. V tej zgodbi je Arhimed nosil matematični instrument, vojak pa je mislil, da nosi dragocenost in ga je ubil. General Marcel naj bi bil zaradi njegove smrti ogorčen, saj ga je imel za uglednega učenjaka in je ukazal, da mu ne smejo storiti nič žalega.[10]

V Nepozabnih dejanjih in izrekih Valerija Maksima iz 1. stoletja n. št. so Arhimedove zadnje besede malo drugačne:

»... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'«
»... z rokama je pokril prah in rekel 'prosim te, da jih pustiš pri miru'«.

Arhimedov grob sta na njegovo željo krasila krogla in valj, ki sta simbolizirala njegovo najslavnejše matematično odkritje. Dokazal je namreč, da sta prostornina in površina krogle enaka dvema tretjinama prostornine in površine enakostraničnega valja z višino, enako premeru krogle. Leta 75 pr. n. št., se pravi 137 let po Arhimedovi smrti, je njegov grob iskal Cicero, ki je služil na Siciliji kot kvestor. Zgodbo o Arhimedovem grobu so domačini poznali, nihče pa ni vedel, kje je. Grob je odkril pri Agrigentskih vratih v Sirakuzah. Bil je povsem zanemarjen in zaraščen, zato ga je očistil in nato prebral nekaj napisov na nagrobniku.[11] Potem je sled ponovno izginila, dokler niso leta 1965 o najdbi njegovega groba na dvorišču Hotela Panorama v Sirakuzah poročali italijanski arheologi. Za to, da je grob res njegov, ni nobenega trdnega dokaza.[12]

Odkritja in iznajdbe[uredi | uredi kodo]

Arhimedov zakon[uredi | uredi kodo]

Arhimedova rešitev problema zlate krone

Najbolj znana zgodba o Arhimedu pripoveduje, kako je odkril metodo za določane prostornine teles nepravilnih oblik. Arhimedu so prinesli krono, ki naj bi bila izdelana iz čistega zlata, in ga vprašali, ali so goljufivi zlatarji k zlatu primešali tudi nekaj srebra.[13] Arhimed krone ni smel poškodovati, zato jo je potopil v vodo in iz dviga nivoja vode izračunal njeno prostornino. Meritev je mogoča zaradi dejstva, da je voda pri teh pogojih praktično nestisljiva.[14] Ugotovil je, da je gostota krone manjša od gostote čistega zlata in s tem dokazal, da je k zlatu primešanega nekaj cenejšega srebra. Po tem odkritju je menda gol tekal po sirakuških ulicah in vpil »Eureka!« (grško εὕρηκα [heúrēka]), se pravi »Odkril sem!«. [15] Zgodba o zlati kroni v Arhimedovih znanih delih ni omenjena, v praksi pa pomeni, da je izračun mogoč zaradi možnosti zelo točnega tehtanja mase izpodrinjene tekočine.[16]

Hidrostatični tlak in Arhimedovo načelo je opisal v razpravi O plavanju teles. Zakon pravi, da na plavajoče telo deluje sila vzgona F, ki je enaka teži izpodrinjene tekočine:[17]

 F = mg = \rho V g \!\, ,

kjer je:

  • m\, masa izpodrinjene tekočine
  • g\, težni pospešek
  • \rho\, – gostota tekočine
  • V\, – prostornina izpodrinjene tekočine

Sila vzgona deluje proti sili teže. Njeno prijemališče je težišče telesa. Arhimedova metoda se še danes uporablja za določanje gostote snovi in preučevanje plovnosti teles.

Arhimedov vijak[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Arhimedov vijak.
Tipičen Arhimedov vijak

Velik del Arhimedovega inženirskega dela je nastal med izpolnjevanjem potreb domačih Sirakuz. Grški pisatelj Atenej piše, da je sirakuški kralj Hieron II. pri Arhimedu naročil načrte za veliko ladjo Sirakuzijo, ki bi bila uporabna za luksuzno potovanje in kot vojna ladja. Sirakuzija naj bi bila naj bi bila največja ladja, zgrajena v antiki.[18] Po Atenejevem pisanju je lahko nosila 600 ljudi, imela okrasne vrtove, gimnazijo in tempelj, posvečen boginji Afroditi. Ker je ladja puščala in je vanjo vdiralo veliko vode, ja Arhimed domnevno razvil vijak, s katerim je izčrpaval kalužo. Arhimedov stroj je imel vijačnico, vgrajeno v notranjosti valja. Poganjal se je z rokami. Kasneje se je izkazalo, da je uporaben tudi za črpanje vode iz nižje ležečih namakalnih kanalov. Arhimedov vijak se še vedno uporablja za črpanje tekočin iz suhih zrnatih trdnih snovi, na primer premoga in žita. Arhimedov vijak, ki ga je v rimskih časih opisal Mark Vitruvij, bi lahko bil izboljšana različica vijačne črpalke, ki so jo uporabljali za namakanje Babilonskih visečih vrtov.[19][20]

Prvi parnik s pogonom na Arhimedov vijak, zgrajen leta 1838, so njegovemu izumitelju v čast imenovali SS Archimedes.[21]

Arhimedov krempelj[uredi | uredi kodo]

Giulio Parigi: Arhimedov krempelj, znan tudi kot železna roka

Arhimedov krempelj je bil eden od strojev, ki jih je med 2. punsko vojno skonstruiral Arhimed za obrambo Sirakuz pred vojsko Rimske republike pod poveljstvom generala Marka Klavdija Marcela. Videz in delovanje stroja sta še vedno predmet razprav. Antični viri trdijo, da je stal na morskem obzidju za obrambo pred napadom z morja. Skopi opisi pravijo, da je bil nekakšen žerjav oziroma ogromno dvigalo, s katerega je visela kljuka. To se je lahko zagozdilo za sovražno ladjo, jo z dvigalom dvignilo in tako potopilo.

V zadnjem času so večkrat poskusili rekonstruirati in preskusiti Arhimedovo orožje. Leta 2005 je ekipa, ki jo je zbral Discovery Channel, v televizijski oddaji Super orožja antičnega sveta zgradila svojo inačico orožja in dokazala, da deluje.[22][23]

Toplotni žarek[uredi | uredi kodo]

Arhimed je kot orožje morda uporabil tudi več zrcal, ki so kot celota delovala kot parabolično zrcalo in bi lahko vžgala rimske oblegovalne ladje. V 2. stoletju n. št. je grški retorik Lucijan zapisal, da je Arhimed med obleganjem Sirakuz uničili sovražne ladje z ognjem. Nekaj stoletij kasneje je grški arhitekt in matematik Antemij kot Arhimedovo orožje omenil konkavne leče.[24]

Tudi to domnevno orožje je že od renesanse predmet razprav. Descartes ga je zavrnil kot nemogoče, medtem ko so sodobni raziskovalci poskušali poustvariti njegov učinek samo s sredstvi, ki jih je imel na razpolago Arhimed.[25] Mednje so spadali polirani bronasti ali bakreni ščiti, ki bi delovali kot sistem paraboličnih zrcal in usmerili svetlobo na sovražno ladjo. Enako načelo uporabljajo sodobne sončne peči.

Umetnikova predstava uporabe paraboličnih zrcal proti rimskih ladjam.

Preskus Arhimedovega toplotnega žarka je leta 1973 opravil grški znanstvenik Ioannis Sakkas v vojaški pomorski bazi Skaramagas pri Atenah. 70 pobakrenih zrcal velikosti 1,5 × 1,0 m je usmeril na maketo rimske bojne ladje iz vezanega lesa, oddaljene približno 50 m. Ko so bila zrcala točno usmerjena, se je ladja po nekaj sekundah vžgala. K temu je verjetno veliko pripomogel premaz iz bitumna,[26] s katerim so premazovali ladje tudi v klasičnem obdobju.

Oktobra 2005 je preskus izvedla skupina študentov s Tehnološkega inštituta Massachusettsa. Uporabila je 127 kvadratnih zrcal s stranico 30 cm, usmerjenih na maketo lesene ladje, oddaljeno 30 m. Maketa se je vžgala samo ob povsem jasnem vremenu in ko je bila pri miru najmanj deset minut. Zaključek preskusa je bil, da so pri teh pogoji zrcala uporabno orožje. Ekipa z istega inštituta je preskus ponovila v San Franciscu za televizijsko oddajo MythBusters. Za tarčo je izbrala leseno ribiško barko. Med preskusom je les pooglenel in se samo rahlo vnel, ker je za njegov vžig potrebna temperatura približno 300 °C.[27][28]

Ekipa MythBusters je preskus uvrstila med nepotrjene oziroma spodletele, ker so za njegov uspeh potrebne idealne vremenske razmere in dovolj velik čas. Poudarili so, da se Sirakuze odpirajo proti vzhodu, zato bi bila obramba uspešna samo dopoldne, ko je učinek sončne svetlobe ob taki legi največji, in da so imeli branilci za uničevanje ladij na majhne razdalje na razpolago mnogo bolj enostavna in dostopna orožja, na primer goreče puščice in katapulte. [29]

Ekipa MythBusters je preskuse ponovila decembra 2010 in jih ponovno uvrstila v kategorijo nepotrjeno, ker temperatura jader na ladji nikoli ni dosegla temperature 210 °C, potrebne za njihov vžig. Eden od zaključkov je bil, da bi zrcala bolj motila oziroma slepila ladijsko posadko kot resno ogrozila njihovo ladjo.[30]

Druga odkritja in iznajdbe[uredi | uredi kodo]

Uravnotežen vzvod

Arhimed ni izumil vzvoda, ampak je v delu Ravnotežje geometrijskih likov pojasnil načelo njegovega delovanja in s tem postavil temelje sodobne statike. Vzvod je tog, v neki točki podprt drog. Dela vzvoda levo in desno od podpore sta ročici ali kraka. Vzvod je v ravnotežju kadar sta produkta bremen in ročic enaka:

 F_{1} x_{1} = F_{2} x_{2} \!\, ,

kjer sta:

  • F_{1}, F_{2}\, sili
  • x_{1}, x_{2}\, – ročici

To pomeni, da je za dvig bremena na kratki ročici na daljši ročici potrebna manjša sila.[31]

Po Paposu Aleksandrijskem je Arhimed po svojem odkritju izjavil: »Dajte mi mesto, kamor ga bom lahko oprl, pa bom premaknil Zemljo« (grško δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω).[32] Svojo trditev je na kraljev poziv menda dokazal tako, da je ladjo, polno Sirakužanov, s sistemom vzvodov in škripcev dvignil iz morja in jo odložil na obalo. Kralj je potem izjavil, da je treba Arhimedu odslej verjeti brez ugovora.

Načelo so pred njim opisali Aristotelovi učenci peripatetiki, njegovo odkritje pa se včasih pripisuje Arhitu.[33]

Shematski prikaz mehanizma z Antikitere

Plutarh piše, da je Arhimed zasnoval škripčevje, ki je delovalo po načelu vzvoda in je mornarjem omogočalo dvigovanje sicer pretežkih bremen.[34] Zaslužen je tudi za izboljšanje moči in točnosti katapulta in izum odometra. Odometer je opisan kot voziček z zobniškim mehanizmom, ki je po vsaki prepotovani milji v posodo spustil kroglico.[35]

Cicero na kratko omenja Arhimeda v svojem delu De re publica, izmišljenem pogovoru, ki naj bi potekal leta 129 pred n. št. General Mark Klavdij Marcel je po zavzetju Sirakuz okoli leta 212 pred n. št. dejal, da bo v Rim odnesel dva Arhimedova mehanizma, ki sta kazala gibanje Sonca, Lune in petih planetov in sta bila uporabna v astronomiji. Cicero omenja tudi, da sta podoben mehanizem zasnovala Tales iz Mileta in Evdoks. Marcel naj bi enega od mehanizmov obdržal zase kot vojni plen, drugega pa poklonil templju Vrlin v Rimu. Napravi sta bila nekakšna planetarija ali modela planetnega sistema.[36][37]

Papos trdi, da je Arhimed opisal konstrukcijo mehanizma v rokopisu O izdelavi nebesnega svoda, ki se je izgubil. Sodobne raziskave na tem področju so se osredotočile na podoben mehanizem z Antikitere, izdelan okoli leta 100 pred n. št.[38] Za izdelavo mehanizma je bilo potrebno prefinjeno poznavanje diferencialnih reduktorjev,[39] za katerega se je dolgo časa domnevalo, da presega domet antične tehnologije. Odkritje mehanizma z Antikitere leta 1902 je dokazalo, da so tovrstne naprave poznali že stari Grki.[40]

Matematika[uredi | uredi kodo]

Arhimed je rabil Pitagorov izrek za računanje stranice dvanajstkotnika iz šestkotnika in za vsako naslednjo podvojitev stranic pravilnega mnogokotnika.

Arhimed se ni ukvarjal samo z izumljanjem mehanskih naprav, temveč tudi s fiziko, astronomijo in zlasti z matematiko. Obvladoval je infinitezimale, števila z zelo majhnimi absolutnimi vrednostmi, vendar večja od 0, in jih uporabljal na način, podoben sedanjemu integriranju.

Skušal je načrtati pravilni sedemkotnik.

Merjenje kroga[uredi | uredi kodo]

Z drobljenjem do absurda (reductio ad absurdum) je lahko rešil probleme s poljubno točnostjo ali določil meje, znotraj katerih je ležal odgovor. S tehniko, znano kot metoda izčrpavanja, je izračunal približno vrednost števila π. V Merjenju kroga (Κύκλου μέτρησις) je to opravil tako, da je krogu orisal in vrisal pravilna šestkotnika in nato postopoma podvajal število stranic obeh mnogokotnikov. Predpostavil je, da se bo z naraščanjem števila stranic vsota njihovih dolžin približevala obsegu kroga. Po vsakem koraku je zato izračunal vsoti stranic obeh likov in ju primerjal. Po štirih korakih se je njihovo število povečalo na n = 96 = 25 · 3, izračunani približek števila π pa je dobil vrednost:

  3 \frac{10}{71} = [3;7,10] < 3 \frac{1137}{8069} = [3;7,10,2,1,36] < \pi < 3 \frac{1335}{9347} = [3;7,667,2] < 3 \frac{1}{7} \!\,

ali približno:

  3,1408450 < 3,1409100 < \pi < 3,1428266 < 3,1428571 \!\, ,

oziroma srednja vrednost spodnje in zgornje meje  \pi = 3,14185110664 \!\, . Arhimedova izračunana vrednost je skladna z njegovo dejansko vrednostjo približno 3,1416.[41]

Pred njim so tudi drugi starogrški matematiki poskušali uporabljati ploščino včrtanih mnogokotnikov za izračun približkov π, vendar je Arhimed prvi uporabil obseg kroga.[42] Dokazal je tudi, da je ploščina kroga enaka zmnožku π in kvadrata polmera (πr2).

Če se razmerje med obsegom kroga o = 2π r in njegovim premerom 2r označi s πo in razmerje med ploščino kroga p = π r2 in ploščino njemu očrtanega kvadrata (2r)2 s πp, se vidi, da razmerje πo/πp ni odvisno od velikosti kroga. To so vedeli že Sumerci in Egipčani, niso pa vedeli, da sta števili πo in πp v ozki medsebojni zvezi. Tega nista vedela niti Pitagora niti Evklid in vsa grška matematična šola pred Arhimedom. Da razmerje πo = 4πp ni odvisno od premera kroga, so grški matematiki odkrili malo pred Arhimedom na začetku 4. stoletja pr. n. št. Arhimed je dokazal tudi, da v enačbah za izračun obsega in ploščine kroga nastopa ista konstanta, kar ni bilo samo po sebi razumljivo. Pred njim so uporabljali različni vrednosti π.[43] Konstanta obsega je enaka konstanti ploščine o/2r = p/r^{2}\, . Evklid je v svojih Elementih dokazal konstanto ploščine za kroge (p/r^{2}\, , 12. knjiga, trditev 2). Ni pa nikjer omenjal razmerja o/2r\, ali karkoli podobnega. Arhimed je v Merjenju kroga dokazal, da velja (trditev 1):

 p = \frac{or}{2} \!\, ,

nikjer pa sicer ni eksplicitno navedel, da je razmerje o/2r\, konstanta. Vendar to dejstvo posredno izhaja iz njegovega dela in poleg prvi trditvi iz Merjenja kroga je treba Evklidovim izrekom dodati dva njegova aksioma iz dela O krogli in valju:

 \frac{o}{2r} = \left( \frac{2p}{r} \right) \frac{1}{2r} = \frac{p}{r^{2}} = \pi \!\, .

Kvadratni koren števila 3[uredi | uredi kodo]

V Merjenju kroga je izračunal tudi vrednost kvadratnega korena števila 3:[44][45][46][47]

  \frac{265}{153} < \sqrt{3} <  \frac{1351}{780}

ali približno:

 1,7320261 < \sqrt{3} < 1,7320512.

Ahimedova spodnja in zgornja meja sta točni na 2/23409 (4 desetiška mesta) in 1/608400 (6 desetiških mest). Pri tem ni navedel točnega postopka,[48] verjetno pa je uporabil iteracijo,[49] neko vrsto intepolacijske metode ali kombinacijo več metod.[50] Dejanska vrednost je približno 1,7320508. Na ta način je sicer najboljša spodnja meja enaka:

 \frac{989}{571} < \sqrt{3} \!\, ,

ni pa jasno zakaj je Arhimed ni navedel. Mogoče je potreboval boljšo zgornjo mejo in je računal naprej, spodnje meje pa ni navajal. Čeprav svojih metod ni pojasnil, se lahko približka dobita na enak način kot rešitev Pellove enačbe za n = 3:

 x^{2} - 3y^{2}=1 \!\, . [44]

Krogla in valj[uredi | uredi kodo]

Krogla ima 2/3 prostornine očrtanega valja, vključno z njegovima osnovnima ploskvama. Obe geometrijski telesi so na njegovo željo postavili na njegov grob.

V razpravi O krogli in valju, naslovljeni na Dositeja, je Arhimed dobil rezultate, na katere je bil najbolj ponosen: izračunal je razmerje med kroglo in njej očrtanim valjem enako višino in premerom. Prostornini krogle in valja merita:

 {V_{\rm k}} = \frac {{4}}{{3}}  \pi\ r^{3}
 {V_{\rm v}} = 2  \pi\ r^{3},

njuni površini pa:

 {P_{\rm k}} = 4 \pi\ r^{2}
 {P_{\rm v}} = 6  \pi\ r^{2},

kjer je:

  • r\, – polmer valja in krogle in polovica višine valja.

Prostornina in površina krogle sta torej enaka dvem tretjinam prostornine in površine očrtanega valja. Prostornina valja je trikratnik prostornine temu valju vrčtanega stožca.

V isti razpravi je domneval, da vsaka veličina, ki je dovolj krat dodana sama sebi, preseže katero koli dano veličino (Arhimedov aksiom realnih števil).[51]

Kvadratura parabole[uredi | uredi kodo]

Odsek parabole z ustreznim včrtanim trikotnikom

Izračunal je najstarejši znani primer geometrične vrste s količnikom k=1/4 \,:

 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^{k}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \cdots  \!\, ,

V Kvadraturi parabole je dokazal, da je ploščina lika med parabolo in sekanto 4/3 krat večja od ploščine včrtanega trikotnika, ki ustreza pogojem na desnem grafu. Če je prvi člen vrste površina trikotnika, je drugi člen vsota površin dveh trikotnikov, katerih osnovnici sta manjši sekanti. Rešitev problema je izrazil z vsoto zgornje neskončne geometrične vrste:

 s = \sum_{m=0}^\infty ak^{m} = \frac{a}{1-k} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \!\, .

Vsoto te vrste je izračunal z neposrednim računom, ki ga je zamislil prav za to vrsto. Ta dokaz uporablja različico vrste:

 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}}  + \cdots \!\, ,

katere vsota je enaka ⅓.

Pri njem se najde primerjave v preprosti obliki, da so členi aritmetičnega zaporedja logaritmi členov geometričnega zaporedja.

Izračun peščenih zrn[uredi | uredi kodo]

V Izračunu peščenih zrn (Psammites) je izračunal največje število peščenih zrn, potrebnih za napolnitev Vesolja, pri čemer je predpostavil velikost Vesolja. K temu ga je spodbudila pripomba, da je število zrn preveliko, da bi se ga dalo izračunati, in hotel je dokazati, da je mogoče vse kar v resnici obstaja tudi izmeriti. Arhimed je k temu zapisal:

»Kralj Gelo (Gelo II., sin Hieorna II.) trdi, da je število zrn neskončno, jaz pa trdim, da pesek ni samo v Sirakuzah in drugod po Siciliji, ampak tudi v vseh drugih naseljenih in nenaseljenih pokrajinah.«

Za reševanje problema in za izražanje velikih števil je uporabljal poseben številski sistem, ki je temeljil na miriadi miriad (100 milijonov ali 108). Izraz miriada izhaja iz grškega izraza μυριάς: myrias in pomeni število 10.000. Njegov sistem je bil že skoraj tak kot sodobna potenčna (eksponenta) oblika. Z Evklidovim pravilom o deljenju potenc je odkril pravilo za njihovo množenje.

Ker se razdalje od Zemlje do zvezd s tedanjimi instrumenti ni dalo izmeriti, je Arhimed na osnovi Aristarhovih domnev predpostavil, da je Zemljin tir krožnica, da ima Vesolje obliko krogle in da je razmerje med premerom Vesolja in premerom Zemljinega tira enako razmerju med premerom Zemljinega tira in Zemljinim premerom. Povedano drugače to pomeni, da je zvezdna paralaksa, ki jo povzroči gibanje Zemlje okrog Sonca, enaka solarni paralaksi, ki jo povzroči gibanje okrog Zemlje.

Za izračun zgornje meje števila zrn je predpostavil tudi to, da obseg Zemlje ni večji od 10 miriad stadijev (5,5  · 105 km), da Luna ni večja od Zemlje in Sonce ni več kot trideset krat večje od Lune, da je kotni premer Sonca, gledan z Zemlje, večji od 1/200 pravega kota (π/400 radianov = 0,45°) in izračunal, da premer Vesolja ne presega 1014 stadijev, kar v sodobnih enotah znese približno 2 svetlobni leti. Za njegovo napolnitev bi potrebovali največ 8 vigintilijonov ali 8 · 1063 zrn peska.[52]

Spisi[uredi | uredi kodo]

Zdi se, da Arhimed ni bil posebno ponosen na svoje mehanske izume. Zanje je mislil, da ne predstavljajo pravega filozofskega dela, zato je objavljal samo svoje matematične razprave. Pisal je v dorski grščini, narečju antičnih Sirakuz.[53] Njegovi spisi se niso tako dobro ohranili kot Evklidovi, zato je sedem njegovih razprav znanih samo iz omemb drugih avtorjev. Papos Aleksandrijski omenja razpravo O izdelavi krogle in druga dela s področja mnogokotnikov, medtem ko Teon Aleksandrijski citira odlomek o lomu svetlobe iz izgubljene razprave Catoptrica. Arhimed je svoja odkritja objavljal v korespondenci z aleksandrijskimi matematiki. Njegova dela je prvi zbral bizantinski grški arhitekt Izidor iz Mileta okoli leta 530. Komentarje njegovih del je v 6. stoletju napisal Evtokij iz Aškalona, s čimer je njihovo poznavanje razširil na večji krog ljudi. Tabit ibn Kora (836–901) je Arhimedova dela prevedel v arabščino, Gerard iz Cremone (okoli 1114–1187) pa v latinščino. Med renesanso je Johann Herwagen leta 1544 v Baslu objavil Editio Princeps (Prva izdaja) Arhimedovih del v grškem in latinskem jeziku.[54] Okoli leta 1586 je Galileo Galilei iznašel hidrostatsko tehtnico za tehtanje kovin v zraku in vodi, za katero je domnevno dobil navdih v Arhimedovih delih.[55]

Ohranjena dela[uredi | uredi kodo]

Knjiga ima dva dela. Prvi vsebuje petnajst trditev in sedem aksiomov, drugi pa deset trditev. Obravnava zakon vzvoda, ki pravi, da je vzvod v ravnovesju, kadar so razdalje od opore (ročice) obratno sorazmerne velikostim bremen. Svoja spoznanja iz statike je uporabil za izračun težišč različnih geometrijskih likov, vključno s trikotnikom, paralelogrami in parabolami.[7][56]
je kratka razprava, ki obravnava tri Arhimedove trditve. Napisana je kot korespondenca z Dositejem iz Pelezija, učencem Konona s Samosa. V tretji trditvi pravi, da je vrednost π večja od 3\tfrac{10}{71} in manjša od 3\tfrac{1}{7}.
Tudi to delo, ki vsebuje 28 trditev, je naslovljeno na Dositeja in obravnava aritmetično ali Arhimedovo spiralo. Arhimedova spirala je geometrijsko mesto točk, ki nastane takrat, ko se točka giblje od dane negibne točke s konstantno hitrostjo vzdolž premice, ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo. V polarnem koordinatnem sistemu je definirana z enačbo
 r=a+b\theta \!\, ,
kjer je:
  • a\, parameter, ki obrača spiralo,
  • b\, – parameter, ki določa razdaljo med zaporednimi obrati.
Arhimedova spirala je eden od prvih primerov mehanske krivulje (krivulje, ki sledi premikajoči se točki), ki so jo preučevali grški matematiki.
  • O krogli in valju (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) (dve knjigi)
V tej razpravi, naslovljeni na Dositeja, je Arhimed opisal izračune prostornin in površin krogle in valja, na katere je bil najbolj ponosen. Kipa obeh geometrijskih teles so na njegovo zahtevo postavili na njegov grob.
  • O konoidih in sferoidih (Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων)
V tem delu, naslovljenem na Dositeja, je Arhimed izračunal površine in prostornine odsekov stožca, krogle in paraboloidov.
V prvem delu razprave govori o zakonu ravnotežja tekočin in dokaže, da bi voda okoli središča težnosti dobila obliko krogle. Razprava bi lahko bila poskus razlage teorije tedanjih astronomov, tudi Eratostena, da je Zemlja okrogla. Tekočine, ki jih je opisal Arhimed, niso samogravitirajoče, ker je Arhimed domneval, da obstaja točka, proti kateri padajo vsa telesa, da bi dobila okroglo obliko.
V drugem delu je izračunal ravnotežne položaje odsekov paraboloidov, ki so bili verjetno idealizirana oblika ladijskih trupov. Del trupa je potopljen, del pa nad vodno gladino in plava podobno kot ledena gora. Arhimed je svoj zakon o vzgonu zapisal takole:
Na vsako telo, ki je v celoti ali delno potopljeno v tekočino, deluje proti njegovi teži sila, ki je enaka teži izpodrinjene tekočine.
Njeno prijemališče je težišče izpodrinjene tekočine.
Arhimed je za izračun ploščine odsek parabole razdelil na neskončno mnogo trikotnikov.
V tem delu, naslovljenem na Dositeja, je 24 trditev. Arhimed je z dvema metodama dokazal, da je ploščina odseka parabole enaka 4/3 ploščine odseku včrtanega trikotnika, ki ustreza že omenjenim pogojem. Odsek je razdelil na neskončno mnogo trikotnikov in vsoto njihovih ploščin izračunal iz vsote neskončne geometrične vrste s kvocientom ¼:
1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\;=\; \frac{4}{3}.
Arhimedov ostomahion
Ostomachion (ali stomachion) je sestavljanka, podobna tangramu, in razprava z njenim podrobnim opisom, objavljena v Arhimedovem palimpsestu. Arhimed je izračunal ploščine 14 trikotnikov, ki jih je mogoče sestaviti v kvadrat. Raziskave, ki jih je opravil Reviel Netz s Stanford University, objavljene leta 2003, kažejo, da je Arhimed poskušal ugotoviti, na koliko načinov je mogoče njene dele sestaviti v obliko kvadrata. Netz je izračunal, da je to mogoče izvesti na 17.152 načinov.[57] Če se iz tega števila izključijo rešitve zaradi sukanja in zrcaljenja, ostane 536 rešitev.[58] Sestavljanka je eden od prvih primerov reševanja problemov v kombinatoriki.
Izvor njenega imena je nejasen. Domneva se, da izvira iz starogrške besede stomachos (στόμαχος), ki pomeni grlo ali požiralnik.[59] Avsonij trdi, da je beseda v obliki ostomachion sestavljena iz besed osteon (ὀστέονkost) in machē (μάχη – spopad ali boj). Sestavljanka je znana tudi kot loculus ArchimediusArhimedova škatla.[60]
Problem se v nemških prevodih, ki sta jih objavila Georg Nesselmann (1842) in Krumbiegel (1880), glasi:
Izračunaj, o, prijatelj, število govedi, ki se je nekoč na soncu pasla na ravnicah Sicilije, razdeljene po barvah v štiri črede, eno mlečno belo, eno črno, eno lisasto in eno rumeno. Število bikov je večje od števila krav, razmerja med njimi pa so naslednja:
  • beli biki =\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) črnih bikov + rumenih bikov,
  • črni biki =\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) lisastih bikov + rumenih bikov,
  • lisasti biki =\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right) belih bikov + rumenih bikov,
  • bele krave =\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) črne črede,
  • črne krave =\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) lisaste črede,
  • lisaste krave =\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6}\right) rumene črede,
  • rumene krave =\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right) bele črede.
Problem je leta 1773 odkril Gotthold Ephraim Lessing v knjižnici Herzoga Augusta v Nemčiji v grškem rokopisu, napisanem kot pesnitev v 44 verzih. Naslovljen je na Eratostena in aleksandrijske matematike. Arhimed jih je izzval, da število govedi izračunajo s sistemom sedmih diofantskih enačb z osmimi neznankami in zato neskončnim številom rešitev. Vprašanje spada med težje različice problema, ker morajo biti rešitve cela števila, nekatera celo kvadratna. Problem je prvi rešil A. Amthor[61] leta 1880. Rezultat je zelo veliko število, približno 7,760271 · 10206544.[62]
V tej razpravi je Arhimed izračunal številko peščenih zrn, s katerimi bi napolnili Vesolje. V knjigi omenja heliocentrično teorijo Osončja, ki jo je predlagal Aristarh s Samosa, in tedanje zamisli o velikosti Zemlje in razdaljah med različnimi nebesnimi telesi. Arhimed si je za izračun izmislil nov številski sistem z osnovo miriada miriad, se pravi 108. Izračunal je, da je za to potrebno 8 · 1063 zrn (sodobni zapis).
V uvodu v razpravo je zapisal, da je bil njegov oče astronom Fidij. Psammites je edino ohranjeno Arhimedovo delo, v katerem piše o svojih pogledih na astronomijo.[63]
  • Metoda mehanskih izrekov (Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος)
Razpravo se je dolgo prištevalo med Arhimedova izgubljena dela, dokler niso leta 1906 odkrili Arhimedovega palimpsesta. Arhimed v tem delu uporablja infinitezimale in pokaže, kako se z drobljenjem lika na neskončno število neskončno majhnih delov lahko izračuna njegovo površino ali prostornino. Svojo razpravo je v obliki pisma naslovil na aleksandrijskega učenjaka Eratostena.

Izgubljena dela[uredi | uredi kodo]

Med izgubljena Arhimedova dela spadajo razprave o tehtnicah, težišču, lomu svetlobe, izdelavi krogel in dolžini leta.

Arhimedu pripisana dela[uredi | uredi kodo]

Knjiga lem (latinsko Liber Assumptorum) je razprava s petnajstimi izreki o značilnostih kroga. Najstarejša znana kopija je napisana v arabščini. Bagdadski učenjak Tabit ibn Kora, ki je živel v 9. stoletju, jo pripisuje Arhimedu, čeprav je njeno avtorstvo vprašljivo.[64][65]

Arhimedu se pripisuje tudi Heronova formula za izračun ploščine trikotnika iz dolžine njegovih stranic. Prva zanesljiva omemba formule je omemba Herona Aleksandrijskega v 1. stoletju n. št.[66]

Arhimedov palimpsest[uredi | uredi kodo]

Značilna stran Arhimedovega palimpsesta. Versko besedilo se bere od gornjega desnega kota proti spodnjemu levemu kotu. Izvirno Arhimedovo besedilo je napisano pod njim in se bere od leve proti desni.

Najpomembnejši dokument z njegovimi razpravami je Arhimedov palimpsest, ki ga je leta 1906 v Istanbulu odkril danski profesor Johan Ludvig Heiberg. Heiberg je ob pregledovanju 174 strani dolgega pergamenta z molitvami odkril, da je besedilo iz 13. stoletja napisano preko zbrisanega starejšega besedila. Palimpsesti so bili v srednjem veku zaradi visokih cen pergamenta ustaljena praksa. Prvotni zapis na palimpsestu, napisan v 10. stoletju, so strokovnjaki prepoznali kot prepis do tedaj neznanih Arhimedovih razprav.[67]

Palimpsest vsebuje sedem razprav: O ravnovesju ravnin, O spiralah, Merjenje kroga, O krogli in valju, O plavajočih telesih, Metoda mehanskih izrekov in Stomachion. Shranjen je v Walters Art Museum v Baltimoru, Maryland, kjer je bil predmet številnih sodobnih analiz, vključno z ultravijolično svetlobo in rentgenskimi žarki.[68]

Prepis razprave O plavajočih telesih je njen edini ohranjeni prepis. Palimpsest je tudi edini znani vir Metode mehanskih izrekov, omenjene v bizantinski enciklopediji Suda iz 10. stoletja, ki so jo imeli za izgubljeno. Stomachion vsebuje bolj popolno analizo zloženke od tistih v do tedaj znanih prepisih.

Zapuščina[uredi | uredi kodo]

Lunin udarni krater Arhimed, posnet s plovila Lunar Orbiter 4 leta 1967

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Archimedes (c.287 - c.212 BC). BBC History. Pridobljeno 7. junija 2012.
  2. ^ Calinger (1999), str. 150.
  3. ^ Archimedes of Syracuse. The MacTutor History of Mathematics archive. Januar 1999. Pridobljeno 9. junija 2008.
  4. ^ O'Connor J.J., Robertson E.F. (februar 1996). A history of calculus. University of St Andrews. Pridobljeno 7. avgusta 2007.
  5. ^ Bursill-Hall, Piers. Galileo, Archimedes, and Renaissance engineers. Sciencelive with the University of Cambridge. Pridobljeno 7. avgusta 2007.
  6. ^ Archimedes – The Palimpsest. Walters Art Museum. Pridobljeno 14. oktobra 2007.
  7. ^ 7,0 7,1 Heath (1897).
  8. ^ Plutarch. Parallel Lives. Complete e-text from Gutenberg.org. Project Gutenberg. Pridobljeno 23. julija 2007.
  9. ^ O'Connor, J.J., Robertson, E.F.. Archimedes of Syracuse. University of St Andrews. Pridobljeno 2. januarja 2007.
  10. ^ 10,0 10,1 Rorres, Chris. Death of Archimedes: Sources. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 2. januarja 2007.
  11. ^ Rorres, Chris. Tomb of Archimedes: Sources. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 2. januarja 2007.
  12. ^ Rorres, Chris. Tomb of Archimedes – Illustrations. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 15. marca 2011.
  13. ^ Vitruvius. [http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Vitruvius/9*.html De Architectura, IX, 9–12 (v angleščini in latinščini). University of Chicago. Pridobljeno 30. avgusta 2007.
  14. ^ Incompressibility of Water. Harvard University. Pridobljeno 27. februarja 2008.
  15. ^ HyperPhysics. Buoyancy. Georgia State University. Pridobljeno 23. julija 2007.
  16. ^ Rorres, Chris. The Golden Crown. Drexel University. Pridobljeno 24. marca 2009.
  17. ^ Carroll, Bradley W. Archimedes' Principle. Weber State University. Pridobljeno 23. julija 2007.
  18. ^ Casson (1971).
  19. ^ Dalley; Oleson (2003).
  20. ^ Rorres, Chris. Archimedes' screw – Optimal Design. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 23. julija 2007.
  21. ^ [SS [Archimedes]]. wrecksite.eu. Pridobljeno 22. januarja 2011.
  22. ^ Rorres, Chris. Archimedes' Claw – Illustrations and Animations – a range of possible designs for the claw. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 23. julija 2007.
  23. ^ Carroll, Bradley W. Archimedes' Claw – watch an animation. Weber State University. Pridobljeno 12. avgusta 2007.
  24. ^ Anthemius of Tralles. On miraculous engines. 153 [Westerman].
  25. ^ Wesley (1810).
  26. ^ Time Magazine. 26. november 1973. Pridobljeno 12. avgusta 2007.
  27. ^ Bonsor, Kevin. How Wildfires Work. HowStuffWorks. Pridobljeno 23. septembra 2007.
  28. ^ Fuels and Chemicals – Auto Ignition Temperatures.
  29. ^ Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters. MIT. Pridobljeno 23. julija 2007.
  30. ^ TV Review: MythBusters 8.27 – President's Challenge. Pridobljeno 18. decembra 2010.
  31. ^ Clagett (2001).
  32. ^ Pappus of Alexandria. Synagoge, VIII. knjiga.
  33. ^ Rorres, Chris. The Law of the Lever According to Archimedes. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 20. marca 2010.
  34. ^ Dougherty, F. C.; Macari, J.; Okamoto, C.. Pulleys. Society of Women Engineers. Pridobljeno 23. julija 2007.
  35. ^ Ancient Greek Scientists: Hero of Alexandria. Technology Museum of Thessaloniki. Pridobljeno 14. septembra 2007.
  36. ^ Cicero. De re publica 1.xiv §21. thelatinlibrary.com. Pridobljeno 23. julija 2007
  37. ^ Cicero. De re publica. Celoten e-text v angleščini z Gutenberg.org. Project Gutenberg. Pridobljeno 18. septembra 2007.
  38. ^ Noble Wilford (2008).
  39. ^ The Antikythera Mechanism II. Stony Brook University. 25. decembra 2013.
  40. ^ Rorres, Chris. Spheres and Planetaria. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 23. julija 2007.
  41. ^ Heath, T. L. Archimedes on measuring the circle. math.ubc.ca. Pridobljeno 30. oktobra 2012.
  42. ^ Han, Kyutae Paul, Pi and Archimedes polygon method (v angleščini), pridobljeno dne 2015-01-14 
  43. ^ Richeson (2013).
  44. ^ 44,0 44,1 Knorr (1976).
  45. ^ Brown (2015).
  46. ^ Whitford (1912).
  47. ^ Heath (1897), str. Lxxvii, 50.
  48. ^ "Archimedes". Encyclopædia Britannica (v angleščini). 2008. Pridobljeno dne 30. junija 2008. 
  49. ^ McKeeman (2010).
  50. ^ Davies (2011).
  51. ^ Kaye, R. W. Archimedean ordered fields. web.mat.bham.ac.uk. Pridobljeno 7. novembra 2009.
  52. ^ Carroll, Bradley W. The Sand Reckoner. Weber State University. Pridobljeno 23. julija 2007.
  53. ^ Nigel Guy Wilson (2006). Encyclopedia of ancient Greece, str. 77. ISBN 0-7945-0225-3.
  54. ^ Editions of Archimedes' Work. Brown University Library. Pridobljeno 23. julija 2007.
  55. ^ Van Helden, Al. The Galileo Project: Hydrostatic Balance. Rice University. Pridobljeno 14. septembra 2007.
  56. ^ John Lennart Berggren (1976). Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes. Book I. Archive for History of Exact Sciences 16 (2): 87-103. ISSN 1432-0657.
  57. ^ Kolata, Gina (14. december 2003). Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment. The New York Times. Pridobljeno 23. julija 2007.
  58. ^ Ed Pegg mlajši. (17. november 2003). The Loculus of Archimedes, Solved. Mathematical Association of America. Pridobljeno 18. maja 2008.
  59. ^ Rorres, Chris. Archimedes' Stomachion. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 14. septembra 2007.
  60. ^ Gianni A. Sarcone, Marie J. Waeber. Graeco Roman Puzzles. Pridobljeno 9. maja 2008.
  61. ^ B. Krumbiegel, A. Amthor. Das Problema Bovinum des Archimedes. Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik und Physik 25 (1880): 121–136, 153–171.
  62. ^ K.G. Calkins. Archimedes' Problema Bovinum. Andrews University. Pridobljeno 14. septembra 2007.
  63. ^ Angleški prevod Psammitesa. University of Waterloo. Pridobljeno 23. julija 2007.
  64. ^ Heath (1897), str. xxxii, 301–318
  65. ^ Archimedes' Book of Lemmas. cut-the-knot. Pridobljeno 7. avgusta 2007.
  66. ^ O'Connor J.J., Robertson E.F. (april 1999). [Heron of Alexandria]. University of St Andrews. pridobljeno 17. februarja 2010.
  67. ^ M. K. Miller (marec 2007). Reading Between the Lines. Smithsonian Magazine. Pridobljeno 24. januarja 2007.
  68. ^ http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/5235894.stm X-rays reveal Archimedes' secrets. BBC News, 2. avgust 2006. Pridobljeno 23. julija 2007.
  69. ^ Michael Matthews. Time for Science Education: How Teaching the History and Philosophy of Pendulum Motion Can Contribute to Science Literacy, str. 96.
  70. ^ Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. A History of Mathematics, 7. Poglavje.
  71. ^ J. Friedlander, D. Williams. Oblique view of Archimedes crater on the Moon. NASA. Pridobljeno 13. septembra 2007.
  72. ^ Planetary Data System. NASA. Pridobljeno 13. septembra 2007.
  73. ^ Fields Medal. International Mathematical Union. Pridobljeno 23. septembra 2007.
  74. ^ Rorres, Chris. Stamps of Archimedes. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 25. avgusta 2007.
  75. ^ California Symbols. California State Capitol Museum. Pridobljeno 14. septembra 2007.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]