Diofantska enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:

linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost).
Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe.
Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat.
kvadratna enačba Markova
pitagorejske četvorke.
, , Thueve enačbe in so v splošnem rešljive.
diofantska enačba Tijdemanovega izreka in Catalanove domneve.
diofantska enačba Fermat-Catalanove domneve.
Eulerjeva enačba četrte stopnje.
, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz). Erdős-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila.

Linearne diofantske enačbe[uredi | uredi kodo]

Linearna diofantska enačba ene spremenljivke ima obliko:

kjer st a in c dani celi števili. Enačba je rešljiva, če in samo če je c mnogokratnik a, c/a pa je edina rešitev.

Zgled:

Rešitev je:

Najpreprostejša linearna diofantska enačba dveh spremenljivk ima obliko:

Če je c največji skupni delitelj števil a in b, potem je to Bézoutova enakost. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te se lahko najdejo z razširjenim Evklidovim algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c mnogokratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni mnogokratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem linearna diofantska enačba nima rešitev. Če je (x, y) osnovna rešitev, imajo druge rešitve obliko (xvk, y + uk), kjer je k poljubno celo število, u in v pa sta količnika a in b z največjim skupnim deliteljem a in b.

Zgled:

Največji skupni delitelj števil 12 in 42 je in 30 je njegov mnogokratnik. u = 12/6 = 2, v = 42/6 = 7, osnovna rešitev pa je (x, y) = (−1, 1). Druge rešitve so (−1 − 7k, 1 + 2k):

Glej tudi[uredi | uredi kodo]