Diofantska enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:

ax + by = 1 \, linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost).
 x^{n} + y^{n} = z^{n}\, Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe.
x^{2} - n y^{2} = \pm 1\, Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat.
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz \, kvadratna enačba Markova
x^{2} + y^{2} + z^{2} = t^{2} \!\, pitagorejske četvorke.
\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c, n \geq 3, c \neq 0 Thueve enačbe in so v splošnem rešljive.
 x^{a} - y^{b} = 1 \!\, diofantska enačba Tijdemanovega izreka in Catalanove domneve.
 x^{m} + y^{n} = z^{k} \!\, diofantska enačba Fermat-Catalanove domneve.
 x^{4} + y^{4} + z^{4} + t^{4} = (x + y + z + t)^{4} \!\, Eulerjeva enačba četrte stopnje.
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \!\,, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz). Erdős-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila.

Linearne diofantske enačbe[uredi | uredi kodo]

Linearna diofantska enačba ene spremenljivke ima obliko:

 ax = c \!\, ,

kjer st a in c dani celi števili. Enačba je rešljiva, če in samo če je c mnogokratnik a, c/a pa je edina rešitev.

Zgled:

 3x = 42 \!\, .

Rešitev je:

 x = \frac{42}{3} = 14 \!\, .

Najpreprostejša linearna diofantska enačba dveh spremenljivk ima obliko:

 ax + by = c \!\, .

Če je c največji skupni delitelj števil a in b, potem je to Bézoutova enakost. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te lahko najdemo z razširjenim Evklidovim algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c mnogokratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni mnogokratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem linearna diofantska enačba nima rešitev. Če je (x, y) osnovna rešitev, imajo druge rešitve obliko (xvk, y + uk), kjer je k poljubno celo število, u in v pa sta količnika a in b z največjim skupnim deliteljem a in b.

Zgled:

 12x + 42y = 30 \!\, .

Največji skupni delitelj števil 12 in 42 je \operatorname{D}(12,42)=6\, in 30 je njegov mnogokratnik. u = 12/6 = 2, v = 42/6 = 7, osnovna rešitev pa je (x, y) = (−1, 1). Druge rešitve so (−1 − 7k, 1 + 2k):

 (-8, 3), (-15, 5), (-22, 7), (-29, 9), (-36, 11), \cdots, \quad k > 0 \!\,
 (6, -1), (13, -3), (20, -5), (27, -7), (34, -9), (41, -11), \cdots, \quad k < 0 \!\, .