Dokaz s protislovjem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Dokàz s protislóvjem je vrsta logičnega argumenta, kjer se za potrebe argumenta privzame neko predpostavko T kot pravilno in s sklepanjem iz te trditve in drugih že dokazanih trditev in aksiomov pride do protislovnega rezultata, iz se česar lahko sklepa, da je predpostavka T nujno logično napačna.

Ta vrsta dokaza se imenuje tudi prevedba na protislovje – z latinsko tujko reductio ad absurdum v dobesednem prevodu »prevedba na absurd«; temu izrazu lahko sledimo do grškega izraza ἡ εις το αδυνατον απαγωγη, ki ga je pogosto uporabljal Aristotel in pomeni »prevedba na nemogoče«. Tovrstni dokaz uporablja zakon izključene tretje možnosti; stavek, ki ne more biti napačen, mora biti nujno pravilen.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Želi se pokazati, da ni racionalno število. Za potrebe dokaza s protislovjem se privzame nasprotno predpostavko T:

T (začasno privzeta predpostavka): je racionalno število, torej oblike p/q, kjer sta p in q tuji celi števili.

Odtod velja:

ali

Število je sodo, torej je sodo tudi število p. Zapišimo p in q z enoličnim razcepom na prafaktorje:

Iz (*) se zapiše, da velja:

Ker je to razcep na praštevila, se mora praštevilo 2, ki se pojavlja na desni strani, nujno pojavljati tudi na levi strani enačbe, torej mora biti neki (privzeti se sme, da je kar ). Zdaj se enačbo okrajša z 2 in se dobi:

Z istim sklepanjem kot prej se je dobilo, da mora biti tudi neki . Torej 2 deli p in q hkrati, kar je protislovje s tem, da je p/q okrajšani ulomek (p in q sta tuji).

Edina predpostavka, ki se je naredila, je predpostavka T, da je racionalno število, torej mora biti ta nujno napačna. S protislovjem se je torej pravkar dokazalo, da je iracionalno število.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]