Dokaz s protislovjem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dokàz s protislóvjem je vrsta logičnega argumenta, kjer za potrebe argumenta privzamemo neko predpostavko T kot pravilno in s sklepanjem iz te trditve in drugih že dokazanih trditev in aksiomov pridemo do protislovnega rezultata, iz česar lahko sklepamo, da je predpostavka T nujno logično napačna.

Tej vrsti dokaza rečemo tudi prevedba na protislovje - z latinsko tujko reductio ad absurdum v dobesednem prevodu »prevedba na absurd«; temu izrazu lahko sledimo do grškega izraza ἡ εις το αδυνατον απαγωγη, ki ga je pogosto uporabljal Aristotel in pomeni »prevedba na nemogoče«. Tovrstni dokaz uporablja zakon izključene tretje možnosti; stavek, ki ne more biti napačen, mora biti nujno pravilen.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Želimo pokazati, da ni racionalno število. Za potrebe dokaza s protislovjem bomo privzeli nasprotno predpostavko T:

T (začasno privzeta predpostavka): je racionalno število, torej oblike p/q, kjer sta p in q tuji celi števili.

Odtod velja

ali

Število je sodo, torej je sodo tudi število p. Zapišimo p in q z enoličnim razcepom na prafaktorje:

Iz (*) zapišemo, da velja

Ker je to razcep na praštevila, se mora praštevilo 2, ki se pojavlja na desni strani, nujno pojavljati tudi na levi strani enačbe, torej mora biti neki (privzeti smemo, da je kar ). Zdaj enačbo okrajšamo z 2 in dobimo

Z istim sklepanjem kot prej smo dobili, da mora biti tudi neki . Torej 2 deli p in q hkrati, kar je protislovje s tem, da je p/q okrajšani ulomek (p in q sta tuji).

Edina predpostavka, ki smo jo naredili, je predpostavka T, da je racionalno število, torej mora biti ta nujno napačna. S protislovjem smo torej pravkar dokazali, da je iracionalno število.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]