Dokaz s protislovjem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dokàz s protislóvjem je vrsta logičnega argumenta, kjer za potrebe argumenta privzamemo neko predpostavko T kot pravilno in s sklepanjem iz te trditve in drugih že dokazanih trditev in aksiomov pridemo do protislovnega rezultata, iz česar lahko sklepamo, da je predpostavka T nujno logično napačna.

Tej vrsti dokaza rečemo tudi prevedba na protislovje - z latinsko tujko reductio ad absurdum v dobesednem prevodu »prevedba na absurd«; temu izrazu lahko sledimo do grškega izraza ἡ εις το αδυνατον απαγωγη, ki ga je pogosto uporabljal Aristotel in pomeni »prevedba na nemogoče«. Tovrstni dokaz uporablja zakon izključene tretje možnosti; stavek, ki ne more biti napačen, mora biti nujno pravilen.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Želimo pokazati, da \sqrt2 ni racionalno število. Za potrebe dokaza s protislovjem bomo privzeli nasprotno predpostavko T:

T (začasno privzeta predpostavka): \sqrt2 je racionalno število, torej oblike p/q, kjer sta p in q tuji celi števili.

Odtod velja

{p^2\over q^2} = 2 ali p^2 = 2\cdot q^2 \quad (*)

Število p^2 je sodo, torej je sodo tudi število p. Zapišimo p in q z enoličnim razcepom na prafaktorje:

 p = p_1\cdot p_2\cdot \ldots p_n
 q = q_1\cdot q_2\cdot \ldots q_m

Iz (*) zapišemo, da velja

 p_1^2\cdot p_2^2\cdot \ldots p_n^2 = 2\cdot q_1^2\cdot q_2^2\cdot \ldots q_m^2

Ker je to razcep na praštevila, se mora praštevilo 2, ki se pojavlja na desni strani, nujno pojavljati tudi na levi strani enačbe, torej mora biti neki p_j=2 (privzeti smemo, da je kar p_1=2). Zdaj enačbo okrajšamo z 2 in dobimo

 2\cdot p_2^2\cdot \ldots p_n^2 = q_1^2\cdot q_2^2\cdot \ldots q_m^2

Z istim sklepanjem kot prej smo dobili, da mora biti tudi neki q_l=2. Torej 2 deli p in q hkrati, kar je protislovje s tem, da je p/q okrajšani ulomek (p in q sta tuji).

Edina predpostavka, ki smo jo naredili, je predpostavka T, da je \sqrt2 racionalno število, torej mora biti ta nujno napačna. S protislovjem smo torej pravkar dokazali, da je \sqrt2 iracionalno število.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]