Tretjinjenje kota

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Tretjínjenje kóta (tudi trisékcija kóta) je znana konstrukcijska naloga iz klasične geometrije. Gre za vprašanje, kako dani kot razdeliti na tri skladne dele samo s šestilom in neoznačenim ravnilom.

(Ne)rešljivost naloge[uredi | uredi kodo]

Naloga je rešljiva, če je kot posebej lepo izbran - npr.: kot 90° lahko brez težav razdelimo na tri dele po 30°.

V splošnem je naloga nerešljiva. Že starogrški matematiki, ki so prvi znanstveno preučevali konstrukcije z ravnilom in šestilom, so prišli do sklepa, da se naloge v splošnem ne da rešiti, vendar pa niso imeli dokaza za to trditev.

Pozneje so se matematiki ukvarjali s splošnejšim problemom, katere kote je sploh mogoče konstruirati s šestilom in ravnilom. Prve vidnejše uspehe na tem področju sta dosegla Carl Friedrich Gauss in Évariste Galois, ki sta preučevala, kateri pravilni n-kotnik je mogoče konstruirati s predpisanim orodjem. Na podlagi njunih spoznanj je Pierre Wantzel leta 1837 dokazal, da je možno s šestilom in ravnilom konstruirati samo tisti pravilni n-kotnik, pri katerm je število n produkt poljubne potence števila 2 in poljubno mnogo različnih Fermatovih praštevil. Posledično je možno konstruirati samo kote, ki nastopajo v takšnih n-kotnikih.

Reševanje z drugačnim orodjem[uredi | uredi kodo]

Znanih je več metod za tretjinjenje kota z drugačnim orodjem.

Tretjinjenje kota po Arhimedu

Zanimiva je Arhimedova metoda z označenim ravnilom. Za konstrukcijo potrebujemo poleg šestila še ravnilo na katerem sta dve oznaki, ki sta med sabo oddaljeni r enot. Potek konstrukcije:

  1. Šestilo zapičimo v vrh danega kota a in narišemo krožnico s polmerom r. Krak kota seka krožnico v točki A.
  2. Položimo ravnilo skozi točko A tako, da leži ena oznaka na krožnici (C), druga pa na podaljšku drugega kraka kota (D) in narišemo premico AD.
  3. Kot b z vrhom pri D je ravno tretjina danega kota a.

Dokaz: Kot vemo, je v trikotniku zunanji kot enak vsoti obeh notranjih nepriležnih kotov. Po tem pravilu je c (zunanji kot v trikotniku BDC) enak 2b. Če zdaj izračunamo vse kote z vrhom v B, vidimo, da je

a = 180° - b - d = 180° - b - (180° - 2c) = 180° - b - (180° - 4b) =3b.

Znanih je tudi več metod tretjinjenja kota s pomožno krivuljo, ki jo imenujemo trisektrisa.