Ortogonalnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Odseka AB in CD sta pravokotna drug na drugega.

Ortogonálnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto se izraza ortogonalnost ne more samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnosti. Ortogonalnost se lahko uporabi tudi v mnogorazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh starogrških besed grško ὀρθός (ortos - pravilen) in grško γόνυ (goni - pravokoten). Včasih se za isti pojem uporablja tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto se izraz normalnost povezuje z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje.

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:

Iz naštetih primerov se vidi, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

Definicije[uredi | uredi kodo]

  • Linearna transformacija T : V \rightarrow V se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija  T \, ohranja kot med  x \, in  y \,.

Ortogonalne funkcije[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: ortogonalna funkcija.

Za notranji produkt dveh funkcij:

 \langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x) \, \mathrm{d} x \!\, ,

kjer je:

Ti dve funkciji sta ortogonalni, če je njun notranji produkt enak 0:

 \int_a^b f(x)g(x)w(x)\, \mathrm{d} x = 0 \!\, .

Normo se lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapiše kot:

\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w} \!\, .

Člani zaporedja  {f_j: j=1, 2, 3, \dots }\, so:

  • ortogonalni na intervalu  [a, b] \,, če velja:
\langle f_i, f_j \rangle=\int_a^b f_i(x) f_j(x) w(x)\, \mathrm{d} x=\|f_i\|^2\delta_{i,j}=\|f_j\|^2\delta_{i,j} \!\,
  • ortonormalni na intervalu  [a, b] \,, če velja:
\langle f_i, f_j \rangle=\int_a^b f_i(x) f_j(x) w(x)\,\mathrm{d} x=\delta_{i,j} \!\, ,

kjer je:

Ortogonalni polinomi[uredi | uredi kodo]

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov. Takšni polinomi so:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]