Ortogonalna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ortogonalna matrika (oznaka ) je kvadratna matrika z realnimi elementi, katere vrstice in stolpci so medsebojno pravokotni enotski vektorji (ortonormalni vektorji). Ortogonalne matrike so realna oblika unitarnih matrik. Zaradi tega spadajo med normalne matrike.

Ortogonalna matrika je tista, ki pri množenju z transponirano matriko da enotsko matriko. To lahko zapišemo kot

.

To je enakovredno

.

Množica ortogonalnih matrik z razsežnostjo tvori grupo, ki jo označujemo z , in je znana kot ortogonalna grupa. Njena podgrupa , ki jo sestavljajo ortogonalne matrike z determinanto , se imenuje specialna ortogonalna grupa, njeni elementi pa specialne ortogonalne matrike.

Primeri[uredi | uredi kodo]

  • Identična preslikava
  • Vrtenje za ≈ 16,26°
  • zrcaljenje preko osi x
  • permutiranje koordinatnih osi
.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

in

kjer je

    • red matrike
    • Kroneckerjev delta
  • Determinanta ortogonalne matrike je enaka .

Najbolj preprosti sta ortogonalni matriki z obliko in ki ju lahko pojasnimo kot identiteto in zrcaljenje realne premice preko izhodišča.

Matrike imajo obliko

Zadoščajo pa pogojem

.

Če v prvo enačbo brez izgube splošnosti vstavimo in , potem je in ali in . Prvi primer lahko obravnavamo kot vrtenje za kot , drugi primer pa kot zrcaljenje preko premice pod kotom .

.

Ne glede na razsežnost pa lahko ortogonalne matrike obravnavamo kot čisto vrtenje ali pa tudi ne, čeprav so nerotacijske matrike z večjo razsežnostjo lahko precej zapletene. Na primer matrika

predstavlja inverzijo preko koordinatnega izhodišča.

Matrika

pa pomeni vrtenje z inverzijo okoli osi z.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]