Ortogonalni polinomi

Ortogonálni polinómi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke $p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ \ldots \,$. Pri tem ima vsak $p_{n}\,$ stopnjo $n\,$. Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji različici L² notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali, so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821–1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši (1856–1922), ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908–1977), madžarski matematik Gábor Szegő (1895–1985), ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija

Najugodneje je, da se za definicijo ortogonalnih polinomov uporabi oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič:

$\langle p,q\rangle =0\!\,,$

kjer sta:

• $p(x),q(x)\,$ ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje:

$p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ \ldots \!\,.$

Pri tem imajo $p_{n}\,$ stopnjo $n\,$ in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja $\langle \cdot ,\cdot \rangle \,$.

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko:

$Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0\!\,,$

kjer je:

• $Q(x)\,$ največ kvadratni polinom
• $L(x)\,$ linearni polinom
• $f\,$ funkcija, ki jo je potrebno najti
• $\lambda \,$ konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za $f\,$, nimajo jih pa za določene vrednosti konstante $\lambda \,$. Obstaja vrsta števil $\lambda _{0},\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \,$, ki vodijo do vrste rešitev s polinomi $P_{0},P_{1},P_{2}\cdots \,$, če velja ena izmed naslednjih trditev:

1. $Q\,$ je resnični kvadratni polinom, $L\,$ pa linearni, potem ima $Q\,$ dva različna realna korena
2. $Q\,$ ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma $L\,$ leži točno med korenoma polinoma $Q\,$ in vodeči člen polinomov $L\,$ in $Q\,$ ima isti predznak.
3. $Q\,$ je neničelna konstanta, $L\,$ je linearni polinom in vodeči člen polinoma $L\,$ ima nasprotni predznak kot polinom $Q\,$.

Klasična definicija

Naj bo $[x_{1},x_{2}]\,$ interval na realni premici, tako da velja $x_{1}=-\infty \,$ in $x_{2}=\infty \,$, kar se imenuje interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala:

$w:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} \!\,.$

$w\,$ mora zadoščati zahtevi, da mora biti za polinom $f\,$ integral:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)w(x)\,\mathrm {d} x\!\,$

končen. Funkcija $w\,$ se imenuje utežna funkcija.

Za dani vrednosti $x_{1},x_{2}\,$ in $w\,$ se lahko za dana polinoma $f\,$ in $g\,$ definira:

$\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x\!\,.$

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način:

$\|f\|=\langle f,f\rangle ^{1/2}\!\,.$

Ko se pripravlja ortogonalno bazo, se poskuša pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega se polinome skalira tako, da so koeficienti enostavnejši. To se imenuje standardizacija. Klasične polinome se pogosto standardizira s tem, da se postavi vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa se postavi določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma $p_{n}\,$ se označi s $h_{n}\,$:

$h_{n}=\langle p_{n},p_{n}\rangle \!\,.$

Vrednosti za $h_{n}\,$ so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To se lahko zapiše tudi kot:

$\langle p_{m},p_{n}\rangle =\delta _{mn}{\sqrt {h_{m}h_{n}}}\!\,,$

kjer je:

• $\delta _{mn}\,$ Kroneckerjeva delta.

Rekurzivna zveza

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

$p_{n+1}=(a_{n}x+b_{n})p_{n}-c_{n}p_{n-1}\!\,.$

Koeficienti $a\,$, $b\,$ in $c\,$ so odvisni od $n\,$.

Vrednosti $a_{n}\,$, $b_{n}\,$ in $c_{n}\,$ se lahko neposredno določi. Naj bodo $k_{j}\,$ in $k_{j}'\,$ prvi in drugi koeficient polinoma $p_{j}\,$:

$p_{j}(x)=k_{j}x^{j}+k_{j}'x^{j-1}+\cdots \!\,$

in naj bo $h_{j}\,$ notranji produkt polinoma $p_{j}\,$ samega s seboj:

$h_{j}\ =\ \langle p_{j},\ p_{j}\rangle \!\,.$

Iz tega se dobi:

$a_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad b_{n}=a_{n}\left({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}\right),\qquad c_{n}=a_{n}\left({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}\right)\!\,.$

Rodriquesov obrazec

Posamezni členi $P_{n}(x)\,$ so sorazmerni z ${\frac {1}{w(x)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(w(x)[Q(x)]^{n}\right)\,$. Ta obrazec se imenuje Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).

Pogosto se ga piše v obliki:

$P_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)\!\,,$

kjer je:

• $e_{n}\,$ odvisen od standardizacije.

Števila λ_n

Iz vsega sledi, da je:

$\lambda _{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right)\!\,.$

Ker pa sta $Q\,$ kvadratni in $L\,$ linearna polinoma sta, $Q''\,$ in $L'\,$ konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi

Med klasične ortogonalne polinome spadajo:

• Jacobijevi polinomi
  • Gegenbauerjevi polinomi
  • Legendrovi polinomi
  • polinomi Čebišova (dva tipa)
• Laquerrovi polinomi
  • posplošeni Laquerrovi polinomi
• Hermitovi polinomi

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko:

$Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0\!\,.$

Jacobijevi polinomi

Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe:

$(1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n(n+1+\alpha +\beta ))\!\,.$

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega $[-1,1]\,$ in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Legendrovi polinomi

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe:

$(1-x^{2})\,y''-2x\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n(n+1))\!\,.$

Enačba se imenuje Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

$([1-x^{2}]\,y')'+\lambda \,y=0\!\,.$

Rekurzivni obrazec za Legendrove polinome je:

$(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)\!\,.$

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.

Nekaj prvih Legendrovih polinomov je:

$P_{0}(x)=1\!\,,$

$P_{1}(x)=x\!\,,$

$P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\!\,,/math>:<math>P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\!\,,$

$P_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\!\,,$

$\vdots$.

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le $m\neq n\,$, saj velja:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\!\,.$

Legendrovi polinomi so standardizirani tako, da je $P_{n}(1)=1\!\,$ za vse $n\,$.

Posplošeni Legendrovi polinomi

Posplošene Legendrove polinome se označi z:

$P_{\ell }^{(m)}(x)\!\,,$

kjer je:

• $l\,$ celo število
• $m\,$ celo število tako, da je $0\leq m\leq l\,$.

Polinomi so definirani kot:

$P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell }^{[m]}(x)\!\,.$

Opomba: parameter $m\,$ je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je:

$(\ell +1-m)\,P_{\ell +1}^{(m)}(x)=(2\ell +1)x\,P_{\ell }^{(m)}(x)-(\ell +m)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x)\!\,.$

Za stalni $m\,$ je zaporedje $P_{m}^{(m)},P_{m+1}^{(m)},P_{m+2}^{(m)},\dots$ ortogonalno v intervalu $[-1,1]\,$ z utežno funkcijo enako 1.

Za dani $m\,$ so polinomi rešitev diferencialne enačbe:

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\qquad (\lambda =\ell (\ell +1))\!\,.$.

Gegenbauerjevi polinomi

Kadar je ena skupina parametrov $\alpha \,$ in $\beta \,$ med seboj enaka, se dobi Gegenbauerjeve polinome. Zapiše se jih kot $C_{n}^{(\alpha )}$. Definirani pa so kot:

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}\!\,.$

Pri tem je $Q(x)=1-x^{2}\,$ in $L(x)=-(2\alpha +1)\,x\,$. Mora pa biti $\alpha \,$ večji od -1/2.

Polinomi Čebišova

Diferencialna enačba, katere rešitve so polinomi Čebišova, je:

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n^{2})\!\,.$

Imenuje se enačba Čebišova.

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je:

$T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)\!\,.$

Rodriquesov obrazec je:

$T_{n}(x)={\frac {\Gamma (1/2){\sqrt {1-x^{2}}}}{(-2)^{n}\,\Gamma (n+1/2)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2}\right)\!\,.$

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki se jih označuje z $U_{n}\,$.

Laquerrovi polinomi

Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in se jih označuje z $L_{n}^{(\alpha )}$. Parameter $\alpha$ mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba, s katero so določeni Laquerrovi polinomi, je:

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =n)\!\,.$

Druga oblika diferencialne enačbe pa je:

$(x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0\!\,.$

Rekurzivni obrazec je:

$(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\!\,.$

Rodriquesov obrazec je:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{n+\alpha }\,e^{-x}\right)\!\,.$

Hermitovi polinomi

Diferencialna enačba, ki določa Hermitove polinome, je:

$y''-2xy'+{\lambda }\,y=0,\qquad (\lambda =2n)\!\,.$

Imenuje se Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

$(e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0\!\,.$

Znana je še tretja oblika:

$(e^{-x^{2}/2}\,y)''+({\lambda }+1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y)=0\!\,.$

Rekurzivni obrazec je:

$H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)\!\,.$

Rodriquesov obrazec je:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}\,e^{x^{2}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)\!\,.$

Nekaj prvih Hermitovih polinomov je:

$H_{0}(x)=1\!\,,$

$H_{1}(x)=2x\!\,,$

$H_{2}(x)=4x^{2}-2\!\,,$

$H_{3}(x)=8x^{3}-12x\!\,,$

$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\!\,.$

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov

ime in oznaka	polinomi Čebišova, $\ T_{n}$	polinomi Čebišova (druge vrste), $\ U_{n}$	Legendrovi polinomi, $\ P_{n}$	Hermitovi polinomi, $\ H_{n}$
meje ortogonalnosti	$-1,1\,$	$-1,1\,$	$-1,1\,$	$-\infty ,\infty$
utežna funkcija $w(x)\,$	$(1-x^{2})^{-1/2}\,$	$(1-x^{2})^{1/2}\,$	$1\,$	$e^{-x^{2}}$
standardizacija	$T_{n}(1)=1\,$	$U_{n}(1)=n+1\,$	$P_{n}(1)=1\,$	Vodeči člen = $2^{n}\,$
kvadrat norme $h_{n}\,$	$\left\{{\begin{matrix}\pi &:~n=0\\\pi /2&:~n\neq 0\end{matrix}}\right.$	$\pi /2\,$	${\frac {2}{2n+1}}$	$2^{n}\,n!\,{\sqrt {\pi }}$
vodeči člen $k_{n}\,$	$2^{n-1}\,$	$2^{n}\,$	${\frac {(2n)!}{2^{n}\,(n!)^{2}}}\,$	$2^{n}\,$
drugi člen $k'_{n}\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
$Q\,$	$1-x^{2}\,$	$1-x^{2}\,$	$1-x^{2}\,$	$1\,$
$L\,$	$-x\,$	$-3x\,$	$-2x\,$	$-2x\,$
$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,\mathrm {d} x}$	$(1-x^{2})^{1/2}\,$	$(1-x^{2})^{3/2}\,$	$1-x^{2}\,$	$e^{-x^{2}}\,$
konstanta v diferencialni enačbi ${\lambda }_{n}\,$	$n^{2}\,$	$n(n+2)\,$	$n(n+1)\,$	$2n\,$
konstanta v Rodriguesovem obrazcu $e_{n}\,$	$(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}\,$	$2(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+3/2)}{(n+1)\,{\sqrt {\pi }}}}\,$	$(-2)^{n}\,n!\,$	$(-1)^{n}\,$
rekurzivni odnos $a_{n}\,$	$2\,$	$2\,$	${\frac {2n+1}{n+1}}\,$	$2\,$
rekurzivni odnos $b_{n}\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
rekurzivni odnos $c_{n}\,$	$1\,$	$1\,$	${\frac {n}{n+1}}\,$	$2n\,$

ime in oznaka	posplošeni Laquerrovi polinomi, $L_{n}^{(\alpha )}$	Laguerrovi polinomi, $\ L_{n}$
meje ortogonalnosti	$0,\infty \,$	$0,\infty \,$
utežna funkcija $w(x)\,$	$x^{\alpha }e^{-x}\,$	$e^{-x}\,$
standardizacija	vodeči člen = ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,$	vodeči člen = ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,$
kvadrat norme $h_{n}\,$	${\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\,$	$1\,$
vodeči člen $k_{n}\,$	${\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,$	${\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,$
drugi člen $k'_{n}\,$	${\frac {(-1)^{n+1}(n+\alpha )}{(n-1)!}}\,$	${\frac {(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}}\,$
$Q\,$	$x\,$	$x\,$
$L\,$	$\alpha +1-x\,$	$1-x\,$
$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,\mathrm {d} x}$	$x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,$	$x\,e^{-x}\,$
konstanta v diferencialni enačbi ${\lambda }_{n}\,$	$n\,$	$n\,$
konstanta v Rodriguesovemu obrazcu $e_{n}\,$	$n!\,$	$n!\,$
rekurzivni odnos $a_{n}\,$	${\frac {-1}{n+1}}\,$	${\frac {-1}{n+1}}\,$
rekurzivni odnos $b_{n}\,$	${\frac {2n+1+\alpha }{n+1}}\,$	${\frac {2n+1}{n+1}}\,$
rekurzivni odnos $c_{n}\,$	${\frac {n+\alpha }{n+1}}\,$	${\frac {n}{n+1}}\,$

ime in oznaka	Gegenbauerjevi polinomi, $C_{n}^{(\alpha )}$	Jacobijevi polinomi, $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$
meje ortogonalnosti	$-1,1\,$	$-1,1\,$
utežna funkcija $w(x)\,$	$(1-x^{2})^{\alpha -1/2}\,$	$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\,$
standardizacija	$C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )}}\,$ if $\alpha \neq 0$	$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={\frac {\Gamma (n+1+\alpha )}{n!\,\Gamma (1+\alpha )}}\,$
kvadrat norme $h_{n}\,$	${\frac {\pi \,2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )(\Gamma (\alpha ))^{2}}}$	${\frac {2^{\alpha +\beta +1}\,\Gamma (n\!+\!\alpha \!+\!1)\,\Gamma (n\!+\!\beta \!+\!1)}{n!(2n\!+\!\alpha \!+\!\beta \!+\!1)\Gamma (n\!+\!\alpha \!+\!\beta \!+\!1)}}$
vodeči člen $k_{n}\,$	${\frac {\Gamma (2n+2\alpha )\Gamma (1/2+\alpha )}{n!\,2^{n}\,\Gamma (2\alpha )\Gamma (n+1/2+\alpha )}}\,$	${\frac {\Gamma (2n+1+\alpha +\beta )}{n!\,2^{n}\,\Gamma (n+1+\alpha +\beta )}}\,$
drugi člen $k'_{n}\,$	$0\,$	${\frac {(\alpha -\beta )\,\Gamma (2n+\alpha +\beta )}{(n-1)!\,2^{n}\,\Gamma (n+1+\alpha +\beta )}}\,$
$Q\,$	$1-x^{2}\,$	$1-x^{2}\,$
$L\,$	$-(2\alpha +1)\,x\,$	$\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)\,x\,$
$R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,\mathrm {d} x}$	$(1-x^{2})^{\alpha +1/2}\,$	$(1-x)^{\alpha +1}(1+x)^{\beta +1}\,$
konstanta v diferencialni enačbi ${\lambda }_{n}\,$	$n(n+2\alpha )\,$	$n(n+1+\alpha +\beta )\,$
konstanta v Rodriguesovem obrazcu $e_{n}\,$	${\frac {(-2)^{n}\,n!\,\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (n\!+\!1/2\!+\!\alpha )}{\Gamma (n\!+\!2\alpha )\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}}$	$(-2)^{n}\,n!\,$
rekurzivni odnos $a_{n}\,$	${\frac {2(n+\alpha )}{n+1}}\,$	${\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha +\beta )}}$
rekurzivni odnos $b_{n}\,$	$0\,$	${\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1)(2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}}$
rekurzivni odnos $c_{n}\,$	${\frac {n+2{\alpha }-1}{n+1}}\,$	${\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}$

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Orthogonal Polynomials«. MathWorld.
• Ortogonalni polinomi (angleško)
• Polinomi Laquerra na MathWorld (angleško)