Ortogonalni polinomi

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ortogonálni polinómi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ \ldots\, . Pri tem ima vsak p_{n}\, stopnjo n\, . Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji različici L2 notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali, so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821 – 1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši (1856 – 1922) ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856 – 1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908 – 1977), madžarski matematik Gábor Szegő (1895 – 1985), ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Najugodneje je, da se za definicijo ortogonalnih polinomov uporabi oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič:

 \langle p,q\rangle=0 \!\, ,

kjer sta:

  • p(x), q(x)\, ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje:

 p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ \ldots \!\, .

Pri tem imajo p_{n}\, stopnjo n\, in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja \langle \cdot,\cdot\rangle\, .

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko:

 Q(x) \, f'' +  L(x)\,f' + \lambda  f = 0 \!\, ,

kjer je:

  •  Q(x) \, največ kvadratni polinom
  •  L(x) \, linearni polinom
  •  f \, funkcija, ki jo je potrebno najti
  •  \lambda \, konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za f\, , nimajo jih pa za določene vrednosti konstante \lambda\, . Obstaja vrsta števil \lambda_{0}, \lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \,, ki vodijo do vrste rešitev s polinomi P_{0}, P_{1}, P_{2} \cdots\, , če velja ena izmed naslednjih trditev:

  1.  Q \, je resnični kvadratni polinom,  L \, pa linearni, potem ima  Q \, dva različna realna korena
  2.  Q \, ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma  L \, leži točno med korenoma polinoma  Q \, in vodeči člen polinomov  L \, in  Q \, ima isti predznak.
  3.  Q \, je neničelna konstanta,  L \, je linearni polinom in vodeči člen polinoma  L \, ima nasprotni predznak kot polinom  Q \,.

Klasična definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo [x_{1}, x_{2}]\, interval na realni premici, tako da velja x_{1} = -\infty\, in x_{2} = \infty\, , kar se imenuje interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala:

 w : [x_{1}, x_{2}] \to \R \!\, .

w\, mora zadoščati zahtevi, da mora biti za polinom f\, integral:

 \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) w(x) \, \mathrm{d} x \!\,

končen. Funkcija w\, se imenuje utežna funkcija.

Za dani vrednosti x_{1}, x_{2}\, in w\, se lahko za dana polinoma f\, in g\, definira:

 \langle f, g \rangle = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) g(x) w(x) \, \mathrm{d} x \!\, .

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija[uredi | uredi kodo]

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način:

 \| f \| = \langle f, f \rangle^{1 / 2} \!\, .

Ko se pripravlja ortogonalno bazo, se poskuša pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega se polinome skalira tako, da so koeficienti enostavnejši. To se imenuje standardizacija. Klasične polinome se pogosto standardizira s tem, da se postavi vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa se postavi določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma  p_{n} \, se označi s  h_{n} \,:

 h_{n} = \langle p_{n}, p_{n} \rangle \!\, .

Vrednosti za  h_{n} \, so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To se lahko zapiše tudi kot:

 \langle p_{m}, p_{n} \rangle = \delta_{mn} \sqrt{h_{m} h_{n}} \!\, ,

kjer je:

Rekurzivni odnos[uredi | uredi kodo]

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

 p_{n+1} = (a_{n}x+b_{n}) p_{n} - c_{n} p_{n-1} \!\, .

Koeficienti  a \,,  b \, in  c \, so odvisni od  n \,.

Vrednosti a_{n}\, , b_{n}\, in c_{n}\, se lahko neposredno določi. Naj bodo k_{j}\, in k_{j}' \, prvi in drugi koeficient polinoma p_{j}\, :

 p_{j}(x)=k_{j}x^{j}+k_{j}'x^{j-1}+\cdots \!\,

in naj bo h_{j}\, notranji produkt polinoma p_{j}\, samega s seboj:

 h_{j} \ =\ \langle p_{j},\ p_{j} \rangle \!\, .

Iz tega se dobi:

 a_{n}=\frac{k_{n+1}}{k_{n}},\qquad b_{n}=a_{n} \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} -
\frac{k_{n}'}{k_{n}} \right), \qquad c_{n}=a_{n} \left( \frac{k_{n-1}h_{n}}{k_{n} h_{n-1}} \right) \!\, .

Rodriquesov obrazec[uredi | uredi kodo]

Posamezni členi  P_{n}(x)\, so sorazmerni z \frac{1}{w(x)} \ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}} \left( w(x)[Q(x)]^{n} \right) \,. Ta obrazec se imenuje Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).

Pogosto se ga piše v obliki:

 P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \  \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}} \left( W(x)[Q(x)]^{n} \right) \!\, ,

kjer je:

  •  e_{n} \, odvisen od standardizacije.

Števila λn[uredi | uredi kodo]

Iz vsega sledi, da je:

 \lambda_{n} = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right) \!\, .

Ker pa sta Q\, kvadratni in L\, linearna polinoma sta, Q''\, in L'\, konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi[uredi | uredi kodo]

Med klasične ortogonalne polinome spadajo:

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko:

 Q(x) \, f'' +  L(x)\,f' + \lambda  f = 0 \!\, .

Jacobijevi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Jacobijevi polinomi.

Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe:

 (1-x^{2})\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ( \lambda = n(n+1+\alpha+\beta) ) \!\, .

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega  [-1, 1] \, in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Legendrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Legendrovi polinomi.

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe:

 (1-x^{2})\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ( \lambda = n(n+1) ) \!\, .

Enačba se imenuje Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

 ([1-x^{2}]\,y')' + \lambda\,y = 0 \!\, .

Rekurzivni obrazec za Legendrove polinome je:

 (n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x) \!\, .

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.

Nekaj prvih Legendrovih polinomov je:

 P_{0}(x) = 1 \!\, ,
 P_{1}(x) = x \!\, ,
 P_{2}(x) = \frac{3x^{2}-1}{2} \!\, , /math>
: <math> P_{3}(x) = \frac{5x^{3}-3x}{2} \!\, ,
 P_{4}(x) = \frac{35x^{4}-30x^{2}+3}{8} \!\, ,
\vdots.

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le m \ne n\, , saj velja:

 \int_{-1}^{1} P_{m}(x) P_{n}(x) \, \mathrm{d} x = 0 \!\, .

Legendrovi polinomi so standardizirani tako, da je  P_{n}(1) = 1 \!\, za vse n\, .

Posplošeni Legendrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Posplošene Legendrove polinome se označi z:

 P_{\ell}^{(m)}(x) \!\, ,

kjer je:

Polinomi so definirani kot:

P_{\ell}^{(m)}(x) = (-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell}^{[m]}(x) \!\, .

Opomba: parameter  m \, je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je:

 (\ell+1-m)\,P_{\ell+1}^{(m)}(x) = (2\ell+1)x\,P_{\ell}^{(m)}(x) - (\ell+m)\,P_{\ell-1}^{(m)}(x) \!\, .

Za stalni  m \, je zaporedje P_{m}^{(m)}, P_{m+1}^{(m)}, P_{m+2}^{(m)}, \dots ortogonalno v intervalu  [-1, 1] \, z utežno funkcijo enako 1.

Za dani  m \, so polinomi rešitev diferencialne enačbe:

 (1-x^{2})\,y'' -2xy' + \left[\lambda - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]\,y = 0, \qquad ( \lambda = \ell(\ell+1) ) \!\, . .

Gegenbauerjevi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Gegenbauerjevi polinomi.

Kadar je ena skupina parametrov  \alpha \, in  \beta \, med seboj enaka, se dobi Gegenbauerjeve polinome. Zapiše se jih kot C_{n}^{(\alpha)}. Definirani pa so kot:

 C_{n}^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}
{\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \ P_{n}^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)} \!\, .

Pri tem je Q(x) = 1-x^{2}\, in L(x) = -(2\alpha+1)\, x\, . Mora pa biti \alpha\, večji od -1/2.

Polinomi Čebišova[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: polinomi Čebišova.

Diferencialna enačba, katere rešitve so polinomi Čebišova, je:

 (1-x^{2})\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ( \lambda = n^{2} ) \!\, .

Imenuje se enačba Čebišova.

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je:

 T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x) \!\, .

Rodriquesov obrazec je:

 T_{n}(x) = \frac{\Gamma(1/2)\sqrt{1-x^{2}}}{(-2)^{n}\,\Gamma(n+1/2)} \ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2} \right) \!\, .

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki se jih označuje z U_{n}\, .

Laquerrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Laquerrovi polinomi.

Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in se jih označuje z L_{n}^{(\alpha)}. Parameter \alpha mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba, s katero so določeni Laquerrovi polinomi, je:

 x\,y'' + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ( \lambda = n ) \!\, .

Druga oblika diferencialne enačbe pa je:

 (x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^{\alpha} \,e^{-x}\,y = 0 \!\, .

Rekurzivni obrazec je:

 (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_{n}^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x) \!\, .

Rodriquesov obrazec je:

 L_{n}^{(\alpha)}(x) = \frac{x^{-\alpha}e^{x}}{n!} \ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}} \left( x^{n+\alpha}\,e^{-x} \right) \!\, .

Hermitovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Hermitovi polinomi.

Diferencialna enačba, ki določa Hermitove polinome, je:

 y'' - 2xy' + {\lambda}\,y = 0,\qquad ( \lambda = 2n ) \!\, .

Imenuje se Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

 (e^{-x^{2}}\,y')' + e^{-x^{2}}\,\lambda\,y = 0 \!\, .

Znana je še tretja oblika:

 (e^{-x^{2}/2}\,y)'' + ({\lambda}+1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y) = 0 \!\, .

Rekurzivni obrazec je:

 H_{n+1}(x) = 2x\,H_{n}(x) - 2n\,H_{n-1}(x) \!\, .

Rodriquesov obrazec je:

 H_{n}(x) = (-1)^{n}\,e^{x^{2}} \ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}} \left( e^{-x^{2}} \right) \!\, .

Nekaj prvih Hermitovih polinomov je:

 H_{0}(x) = 1 \!\, ,
 H_{1}(x) = 2x \!\, ,
 H_{2}(x) = 4x^{2}-2 \!\, ,
 H_{3}(x) = 8x^{3}-12x \!\, ,
 H_{4}(x) = 16x^{4}-48x^{2}+12 \!\, .

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]

ime in oznaka polinomi Čebišova, \ T_{n} polinomi Čebišova
(druge vrste), \ U_{n}
Legendrovi polinomi, \ P_{n} Hermitovi polinomi, \ H_{n}
meje ortogonalnosti -1, 1\, -1, 1\, -1, 1\, -\infty, \infty
utežna funkcija w(x)\, (1-x^{2})^{-1/2}\, (1-x^{2})^{1/2}\, 1\, e^{-x^{2}}
standardizacija T_{n}(1)=1\, U_{n}(1)=n+1\, P_{n}(1)=1\, Vodeči člen = 2^{n}\,
kvadrat norme h_{n}\, \left\{
\begin{matrix}
\pi   &:~n=0 \\
\pi/2 &:~n\ne 0
\end{matrix}\right.
\pi/2\, \frac{2}{2n+1} 2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}
vodeči člen k_{n}\, 2^{n-1}\, 2^{n}\, \frac{(2n)!}{2^{n}\,(n!)^{2}}\, 2^{n}\,
drugi člen k'_{n}\, 0\, 0\, 0\, 0\,
Q\, 1-x^{2}\, 1-x^{2}\, 1-x^{2}\, 1\,
L\, -x\, -3x\, -2x\, -2x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)} \, \mathrm{d} x} (1-x^{2})^{1/2}\, (1-x^{2})^{3/2}\, 1-x^{2}\, e^{-x^{2}}\,
konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_{n}\, n^{2}\, n(n+2)\, n(n+1)\, 2n\,
konstanta v Rodriguesovem obrazcu e_{n}\, (-2)^{n}\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\, 2(-2)^{n}\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\, (-2)^{n}\,n!\, (-1)^{n}\,
rekurzivni odnos a_{n}\, 2\, 2\, \frac{2n+1}{n+1}\, 2\,
rekurzivni odnos b_{n}\, 0\, 0\, 0\, 0\,
rekurzivni odnos c_{n}\, 1\, 1\, \frac{n}{n+1}\, 2n\,
ime in oznaka posplošeni Laquerrovi polinomi, L_{n}^{(\alpha)} Laguerrovi polinomi, \ L_{n}
meje ortogonalnosti 0, \infty\, 0, \infty\,
utežna funkcija w(x)\, x^{\alpha}e^{-x}\, e^{-x}\,
standardizacija vodeči člen = \frac{(-1)^{n}}{n!}\, vodeči člen = \frac{(-1)^{n}}{n!}\,
kvadrat norme h_{n}\, \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\, 1\,
vodeči člen k_{n}\, \frac{(-1)^{n}}{n!}\, \frac{(-1)^{n}}{n!}\,
drugi člen k'_{n}\, \frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\, \frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,
Q\, x\, x\,
L\, \alpha+1-x\, 1-x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)} \, \mathrm{d} x} x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, x\,e^{-x}\,
konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_{n}\, n\, n\,
konstanta v Rodriguesovemu obrazcu e_{n}\, n!\, n!\,
rekurzivni odnos a_{n}\, \frac{-1}{n+1}\, \frac{-1}{n+1}\,
rekurzivni odnos b_{n}\, \frac{2n+1+\alpha}{n+1}\, \frac{2n+1}{n+1}\,
rekurzivni odnos c_{n}\, \frac{n+\alpha}{n+1}\, \frac{n}{n+1}\,
ime in oznaka Gegenbauerjevi polinomi, C_{n}^{(\alpha)} Jacobijevi polinomi, P_{n}^{(\alpha, \beta)}
meje ortogonalnosti -1, 1\, -1, 1\,
utežna funkcija w(x)\, (1-x^{2})^{\alpha-1/2}\, (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\,
standardizacija C_{n}^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\, if \alpha\ne0 P_{n}^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,
kvadrat norme h_{n}\, \frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^{2}} \frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}
{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}
vodeči člen k_{n}\, \frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^{n}\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\, \frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^{n}\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,
drugi člen k'_{n}\, 0\, \frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^{n}\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,
Q\, 1-x^{2}\, 1-x^{2}\,
L\, -(2\alpha+1)\,x\, \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)} \, \mathrm{d} x} (1-x^{2})^{\alpha+1/2}\, (1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,
konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_{n}\, n(n+2\alpha)\, n(n+1+\alpha+\beta)\,
konstanta v Rodriguesovem obrazcu e_{n}\, \frac{(-2)^{n}\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)}
{\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} (-2)^{n}\,n!\,
rekurzivni odnos a_{n}\, \frac{2(n+\alpha)}{n+1}\, \frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}
rekurzivni odnos b_{n}\, 0\, \frac{({\alpha}^{2}-{\beta}^{2})(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}
rekurzivni odnos c_{n}\, \frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\, \frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]