Utežna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Utéžna fúnkcija (oznaka  w(x) \,) je matematični pripomoček, ki ga uporabljamo pri seštevanju, integriranju in računanju povprečij. Utežno funkcijo uporabimo, kadar hočemo, da bi nekateri elementi imeli več vpliva na končni rezultat. Pogosteje se to dogaja v statistiki in analizi. Vse je močno povezano z merjenjem.

Kadar nočemo uporabljati utežne funkcije, je utežna funkcija enaka  w(x) = 1 \,. V tem primeru imajo vsi elementi enak vpliv na končni rezultat in rečemo, da smo dobili neuteženi rezultat. Kadar računamo z utežno funkcijo, rečemo, da smo dobili utežen rezultat, v nasprotnem primeru pa je rezultat neutežen.

Predpostavimo, da je funkcija  f: A \to R^+ realna. V tem primeru je neutežena vsota vrednosti  A \, določena kot:

 \sum_{a \in A} f(a) \!\, .

Utežno funkcijo lahko uporabimo za zvezne in nezvezne primere spremenljivk.

Nezvezna uteženost[uredi | uredi kodo]

Če bi v zgornjem primeru uporabili utežno funkcijo  w: A \to {\Bbb R}^+ \,, bi bila vsota enaka:

 \sum_{a \in A} f(a) w(a) \!\, .

Kadar je  B \, končna podmnožica množice  A \,, lahko nadomestimo kardinalnost z uteženo kardinalnostjo:

 \sum_{a \in B} w(a) \!\, .

Če pa je  A \, končna neprazna množica, lahko nadomestimo neuteženo srednjo vrednost:

 \frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} f(a)

z uteženo aritmetično sredino:

 \frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)} \!\, .

V statistiki se uporablja utežna funkcija, da bi se odpravil vpliv nekaterih zunanjih nagnjenj k določenemu rezultatu. Zgled: f_i \,-krat merimo količino f \,. Pri tem je varianca enaka \sigma_1{^2} \,. Najboljša ocena meritev se dobi kot povprečje vseh meritev z utežmi w_i = 1/ \sigma_i{^2} \,. Tako dobljena varianca je manjša kot pri vsaki neodvisni meritvi  \sigma = 1/ \sum w_i \,.

V mehaniki imamo primer z n \, telesi na vzvodu na mestih x_1, \cdots, x_n \,. Vzvod je v ravnovesju, če je:

 \frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i} \!\, .

To pa je uteženo povprečje za lege x_i \,.

Zvezna uteženost[uredi | uredi kodo]

V zvezni uteženosti je uteženost mera w(x)dx \, v neki domeni \Omega \,, ki je običajno podmnožica Evklidskega prostora \mathbb R^n \,. Zgled: \Omega \, je lahko interval  [a, b] \,.

Predpostavimo, da je funkcija f: \Omega \to {\Bbb R} funkcija z realnimi vrednostmi. V tem primeru je neutežen integral enak:

 \int_\Omega f(x)\ dx \!\,

to z lahkoto posplošimo na utežen integral:

 \int_\Omega f(x) w(x)\, dx \!\, .

Pri tem pa mora biti funkcija f \, absolutno integrabilna glede na  w(x)dx \, zato, da bi bil integral končen.

Če je E \, podmnožica \Omega \,, lahko prostornino vrednosti E \,, pišemo kot uteženo prostornino:

 vol(E) = \int_E w(x)\ dx \!\, .

Če ima \Omega \, končno neničelno prostornino, lahko neuteženo povprečje:

 \frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx

zamenjamo z uteženim povprečjem:

 \frac{\int_\Omega f(x)\ w(x) dx}{\int_\Omega w(x)\ dx} \!\, .

Kadar sta f: \Omega \to \mathbb {R}\, in g: \Omega \to \mathbb {R}\,, lahko posplošimo neuteženi notranji produkt z:

 \langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx \!\,

z uteženim notranjim produktom:

 \langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx \!\, .