Utežna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Utéžna fúnkcija (oznaka ) je matematični pripomoček, ki ga uporabljamo pri seštevanju, integriranju in računanju povprečij. Utežno funkcijo uporabimo, kadar hočemo, da bi nekateri elementi imeli več vpliva na končni rezultat. Pogosteje se to dogaja v statistiki in analizi. Vse je močno povezano z merjenjem.

Kadar nočemo uporabljati utežne funkcije, je utežna funkcija enaka . V tem primeru imajo vsi elementi enak vpliv na končni rezultat in rečemo, da smo dobili neuteženi rezultat. Kadar računamo z utežno funkcijo, rečemo, da smo dobili utežen rezultat, v nasprotnem primeru pa je rezultat neutežen.

Predpostavimo, da je funkcija realna. V tem primeru je neutežena vsota vrednosti določena kot:

Utežno funkcijo lahko uporabimo za zvezne in nezvezne primere spremenljivk.

Nezvezna uteženost[uredi | uredi kodo]

Če bi v zgornjem primeru uporabili utežno funkcijo , bi bila vsota enaka:

Kadar je končna podmnožica množice , lahko nadomestimo kardinalnost z uteženo kardinalnostjo:

Če pa je končna neprazna množica, lahko nadomestimo neuteženo srednjo vrednost:

z uteženo aritmetično sredino:

V statistiki se uporablja utežna funkcija, da bi se odpravil vpliv nekaterih zunanjih nagnjenj k določenemu rezultatu. Zgled: -krat merimo količino . Pri tem je varianca enaka . Najboljša ocena meritev se dobi kot povprečje vseh meritev z utežmi . Tako dobljena varianca je manjša kot pri vsaki neodvisni meritvi .

V mehaniki imamo primer z telesi na vzvodu na mestih . Vzvod je v ravnovesju, če je:

To pa je uteženo povprečje za lege .

Zvezna uteženost[uredi | uredi kodo]

V zvezni uteženosti je uteženost mera v neki domeni , ki je običajno podmnožica Evklidskega prostora . Zgled: je lahko interval .

Predpostavimo, da je funkcija funkcija z realnimi vrednostmi. V tem primeru je neutežen integral enak:

to z lahkoto posplošimo na utežen integral:

Pri tem pa mora biti funkcija absolutno integrabilna glede na zato, da bi bil integral končen.

Če je podmnožica , lahko prostornino vrednosti , pišemo kot uteženo prostornino:

Če ima končno neničelno prostornino, lahko neuteženo povprečje:

zamenjamo z uteženim povprečjem:

Kadar sta in , lahko posplošimo neuteženi notranji produkt z:

z uteženim notranjim produktom: