Kardinalnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.[1]

Kardinalnost množice se običajno označuje z , kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še in # A.

Primerjava množic[uredi | uredi kodo]

Zgled: množica nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica naravnih števil, ker je funkcija bijektivna preslikava iz v .
  • . V tem primeru ima množica večjo ali enako kardinalnost kot , če obstoja injektivna funkcija za preslikavo iz v .
  • . V tem primeru je kardinalnost množice večja od kardinalnosti množice . To se zgodi, če obstoja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice v množico .

Kardinalno število[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Kardinalno število.

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

Za vsako ordinalno število je najmanjše kardinalno število večje od (oznaka je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z , (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja , kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je . To pa pomeni,da je najmanjše kardinalno število večje od . To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Kardinalnost kontinuuma.

Kardinalnost kontinuuma se označuje s . Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka ). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

kjer je:

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Cardinal Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]