Število bet

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot $\aleph \,$). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za $\aleph \,$.

Definicija

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z $\mathbb {N}$:

$\beth _{0}=\aleph _{0}\!\,.$

Označimo s $P(A)\,$ potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice $A\,$. Potem velja:

$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}\!\,.$

To pa je kardinalnost potenčne množice $A\,$, če je $\beth _{\alpha }\,$ kardinalnost množice $A\,$.

Po tej definiciji so:

$\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$

kardinalnosti naslednjih množic:

$\mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots .$

To pomeni, da je drugo število bet $\beth _{1}\,$ enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka ${\mathfrak {c}}$). Tretje število bet $\beth _{2}\,$ je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med $\aleph _{0}\,$ in $\aleph _{1}\,$ sledi, da je:

$\beth _{1}\geq \aleph _{1}\!\,.$.

To pomeni, da za vsako ordinalno število $\alpha \,$ velja:

$\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }\!\,.$

Domneva kontinuuma nam da:

$\beth _{1}=\aleph _{1}\!\,.$

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

$\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }\!\,.$

Nekatera kardinalna števila bet

Bet nič

Naslednjim množicam pripada kardinalnost $\beth _{0}\,$:

• naravna števila $\mathbb {N} \,$
• racionalna števila $\mathbb {Q} \,$
• algebrska števila ${\overline {\mathbb {Q} }}\,$
• končna množica celih števil $\mathbb {Z} \,$

Bet ena

Naslednjim množicam pripada kardinalnost $\beth _{1}\,$:

• transcendentna števila
• iracionalna števila
• realna števila $\mathbb {R} \,$
• kompleksna števila $\mathbb {C} \,$
• evklidski prostor $\mathbb {R} ^{n}\,$
• potenčna množica naravnih števil
• množica zaporedij celih števil $\mathbb {Z} ^{n}\,$
• množica zaporedij realnih števil $\mathbb {R} ^{n}\,$
• množica zveznih funkcij iz $\mathbb {R} \,$ v $\mathbb {R} \,$
• množica končnih podmnožic realnih števil

Bet dva

Naslednjim množicam pripada kardinalnost $\beth _{2}\,$:

• potenčna množica množice realnih števil
• potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
• množica funkcij iz $\mathbb {R} \,$ v $\mathbb {R} \,$ ($\mathbb {R} ^{r}\,$)
• množica funkcij iz $\mathbb {R} ^{m}\,$ v $\mathbb {R} ^{n}\,$
• potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
• Stone-Čechova kompaktifikacija za $\mathbb {R} \,$, $\mathbb {Q} \,$ in $\mathbb {N} \,$

Glej tudi

• kardinalnost
• število alef

Zunanje povezave

• Število bet Arhivirano 2010-12-13 na Wayback Machine. na WordiQ (angleško)