Število bet

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot ). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za .

Definicija[uredi | uredi kodo]

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z :

Označimo s potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice . Potem velja:

To pa je kardinalnost potenčne množice , če je kardinalnost množice .

Po tej definiciji so:

kardinalnosti naslednjih množic:

To pomeni, da je drugo število bet enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka ). Tretje število bet je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef[uredi | uredi kodo]

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med in sledi, da je:

.

To pomeni, da za vsako ordinalno število velja:

Domneva kontinuuma nam da:

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

Nekatera kardinalna števila bet[uredi | uredi kodo]

Bet nič[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

Bet ena[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

Bet dva[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

  • potenčna množica množice realnih števil
  • potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
  • množica funkcij iz v ()
  • množica funkcij iz v
  • potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
  • Stone-Čechova kompaktifikacija za , in

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]