Število bet

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot ). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za .

Definicija[uredi | uredi kodo]

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z :

Označimo s potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice . Potem velja:

To pa je kardinalnost potenčne množice , če je kardinalnost množice .

Po tej definiciji so:

kardinalnosti naslednjih množic:

To pomeni, da je drugo število bet enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka ). Tretje število bet je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef[uredi | uredi kodo]

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med in sledi, da je:

.

To pomeni, da za vsako ordinalno število velja:

Domneva kontinuuma nam da:

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

Nekatera kardinalna števila bet[uredi | uredi kodo]

Bet nič[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

Bet ena[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

Bet dva[uredi | uredi kodo]

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

  • potenčna množica množice realnih števil
  • potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
  • množica funkcij iz v ()
  • množica funkcij iz v
  • potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
  • Stone-Čechova kompaktifikacija za , in

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]