Porazdelitev gama

Porazdelitev gama
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama.
Zbirna funkcija verjetnosti za porazdelitev gama.
oznaka	${\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!$ ali $\Gamma (k,\theta )\!$
parametri	$k>0\,$ parameter oblike $\theta >0\,$ parameter merila
interval	$x\in [0,\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\!$
pričakovana vrednost	$k\theta \!$
mediana	nima enostavne oblike
modus	$(k-1)\theta {\text{ za }}k\geq 1\,\!$
varianca	$k\theta ^{2}\,\!$
simetrija	${\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!$
sploščenost	${\frac {6}{k}}\,\!$
entropija	$k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!$ $+(1-k)\psi (k)\!$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1-\theta \,t)^{-k}{\text{ za }}t<1/\theta \,\!$
karakteristična funkcija	$(1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!$

Porazdelitev gama je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Določena je z dvema parametroma, od katerih je prvi parameter merila, drugi pa parameter oblike.

Porazdelitev gama slučajne spremenljivke $X\!$ označujemo na dva načina:

$X\sim \Gamma (k,\theta ){\text{ ali }}X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta ).\,$

Opomba: po prvem načinu lahko zamenjamo funkcijo gama s porazdelitvijo in je zaradi tega bolj ugodna druga vrsta označevanja porazdelitve.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama je

$x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!$

kjer je

• $\Gamma (k)\!$ funkcija gama

Porazdelitev gama lahko opišemo tudi s parametrom oblike $\alpha =\theta \!$ in z obratno vrednostjo parametra merila $\beta ={\frac {1}{\theta }}\!$, ki ga imenujemo tudi parameter stopnje.

V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka

$g(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta {x}}{\text{ za }}x>0.\,$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\!$

kjer je

• $\gamma (k,x/\theta )\!$ nepopolna funkcija gama
• $\Gamma (k)\!$ funkcija gama

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$k\theta \!$.

Varianca

Varianca je enaka

$k\theta ^{2}\,\!$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\frac {6}{k}}\,\!$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če ima slučajna spremenljivka $X\!$ porazdelitev gama $X\sim {\textrm {Gamma}}(k=1,\theta =1/\lambda )\,$, potem ima slučajna spremenljivka $X\!$ tudi eksponencialno porazdelitev s parametrom merila λ.
• Če za slučajno spremenljivko $X\!$ velja $X\sim {\textrm {Gamma}}(k=\nu /2,\theta =2)\,$, potem ima $X\!$ hi-kvadrat porazdelitev z $\mu \!$ prostostnimi stopnjami. Obratno pa velja, če je $Q\sim {\chi }^{2}(\nu )\,$ in je $c\!$ pozitivna konstanta, potem velja tudi $c\cdot Q\sim {\textrm {Gamma}}(k=\nu /2,\theta =2c)\,$.
• Če za slučajno spremenljivko $X\!$ velja, da je njen kvadrat porazdeljen po gama porazdelitvi $X^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(3/2,2a^{2})\,$, potem ima slučajna spremenljivka $X\!$ Boltzmannovo porazdelitev s parametrom $a\!$.
• Kadar je slučajna spremenljivka $X\!$ porazdeljena na naslednji način $X\sim \mathrm {SkewLogistic} (\theta )\,$ (poseben tip eksponencialne porazdelitve), potem za slučajno spremenljivko $\mathrm {log} (1+e^{-X})\,$ velja, da je porazdeljena po gama porazdelitvi $\mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,$

• Če se slučajna spremenljivka $X\!$ podreja porazdelitvi $X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!$ potem ima $1/X\!$ obratno gama porazdelitev s parametroma $k\!$ in $\theta ^{-1}\!$.
• Če sta slučajni spremenljivki $X\!$ in $Y\!$ porazdeljeni neodvisno $X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!$ in $Y\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )\!$ potem ima slučajna spremenljivka ${\frac {X}{X+Y}}\!$ beta porazdelitev s parametroma $\alpha \!$ in $\beta \!$.
• Če so slučajne spremenljivke $X_{j}\!$ neodvisno porazdeljene po porazdelitvi ${\textrm {Gamma}}(\alpha _{j},\theta )\!$, potem je vektor $({\frac {X_{1}}{S}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{S}})\!$

kjer je $S=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\!$
porazdeljen po Diricheltovi porazdelitvi s parametri $\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{n}\!$

• za velike $k\!$ gama porazdelitev konvergira proti Gaussovi porazdelitvi s pričakovano vrednostjo $\mu =k\theta \!$ in varianco $\sigma ^{2}=k\theta ^{2}\!$.
• Wishartova porazdelitev je multivariantna posplošitev gama porazdelitve.
• gama porazdelitev je posebni primer posplošene gama funkcije.

Zunaje povezave

• Opis gama porazdelitve (angleško)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev