Karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Karakterístična fúnkcija verjétnostne porazdelítve (značilna funkcija verjetnostne porazdelitve) ali kar karakteristična funkcija v verjetnostnem računu in statistiki za poljubno slučajno spremenljivko popolnoma določa verjetnostno porazdelitev.

Karakteristična funkcija nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo karakteristične funkcije je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo zapleteno funkcijo porazdelitve.

Definicija[uredi | uredi kodo]


    \varphi_X\!:\mathbb{R}\to\mathbb{C}; \quad
                \varphi_X(t) = \operatorname{E}\big[e^{itX}\big] 
                             = \int_{-\infty}^\infty e^{itx}\,dF_X(x) \qquad 
                      \left( = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\,dx \right)

kjer

Zgornji izraz velja samo, če obstoja f(x) \! (funkcija gostote verjetnosti).
Uporabljeni integral je Rieman-Stieltjesov integral.
Slučajna spremenljivka je označena z X.

Če poznamo karakteristično funkcijo, lahko dobimo zbirno funkcijo verjetnosti na naslednji način:

F_X(y)-F_Y(y) = \lim_{t \to \infty}\frac {1}{2\pi} \int \limits_{-r}^{+r}\frac {e^{-itx}-e^{+itx} } {it}.\varphi_X(t) dt \!.

Če integrabilno karakteristično funkcijo označimo s  \varphi_X \! in je   F_X \! absolutno zvezna, ima slučajna spremenljivka X funkcijo gostote verjetnosti f(x) \! dano z


    f_X(x) = F_X'(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\varphi_X(t)dt,
    če je X skalarna spremenljivka

Lévyjev izrek se imenuje po francoskem matematiku Paulu Pierru Lévyju (1886 – 1971). Izrek pravi naslednje: če je   \varphi_X \! karakteristična funkcija porazdelitve   F_X \!, potem obstojata dve taki točki a<b, da velja

F_X(b) - F_X(a) = \frac{1} {2\pi} \lim_{T \to \infty}
  \int_{-T}^{+T} \frac{e^{-ita} - e^{-itb}} {it}\, \varphi_X(t)\, dt,   če je X skalarna spremenljivka

Velja tudi

F_X(a) - F_X(a-0) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi_X(t)dt,   za skalarno naključno spremenljivko X

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Porazdelitev Karakteristična funkcija φ(t)
degenerirana porazdelitev δa   \, e^{ita}
binomska porazdelitev B(n, p)   \, (1-p+pe^{it})^n
Poissonova porazdelitev Pois(λ)   \, e^{\lambda(e^{it}-1)}
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)   \, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)   \, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}
normalna porazdelitev N(μ, σ2)   \, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}
porazdelitev hi-kvadrat χ2k   \, (1 - 2it)^{-k/2}
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ)   \, e^{it\mu -\theta|t|}
porazdelitev gama Γ(k, θ)   \, (1 - it\theta)^{-k}
eksponentna porazdelitev Exp(λ)   \, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)   \, e^{it'\mu - \frac{1}{2}t'\Sigma t}