Karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Karakterístična fúnkcija verjétnostne porazdelítve (značilna funkcija verjetnostne porazdelitve) ali kar karakteristična funkcija v verjetnostnem računu in statistiki za poljubno slučajno spremenljivko popolnoma določa verjetnostno porazdelitev.

Karakteristična funkcija nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo karakteristične funkcije je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo zapleteno funkcijo porazdelitve.

Definicija[uredi | uredi kodo]

kjer

Zgornji izraz velja samo, če obstoja (funkcija gostote verjetnosti).
Uporabljeni integral je Rieman-Stieltjesov integral.
Slučajna spremenljivka je označena z X.

Če poznamo karakteristično funkcijo, lahko dobimo zbirno funkcijo verjetnosti na naslednji način:

.

Če integrabilno karakteristično funkcijo označimo s in je absolutno zvezna, ima slučajna spremenljivka X funkcijo gostote verjetnosti dano z

  če je X skalarna spremenljivka

Lévyjev izrek se imenuje po francoskem matematiku Paulu Pierru Lévyju (1886 – 1971). Izrek pravi naslednje: če je karakteristična funkcija porazdelitve , potem obstojata dve taki točki a<b, da velja

  če je X skalarna spremenljivka

Velja tudi

,   za skalarno naključno spremenljivko X

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Porazdelitev Karakteristična funkcija φ(t)
degenerirana porazdelitev δa  
binomska porazdelitev B(n, p)  
Poissonova porazdelitev Pois(λ)  
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)  
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)  
normalna porazdelitev N(μ, σ2)  
porazdelitev hi-kvadrat χ2k  
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ)  
porazdelitev gama Γ(k, θ)  
eksponentna porazdelitev Exp(λ)  
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)