Funkcija generiranja momentov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Funkcija generiranja momentov je v teoriji verjetnosti in statistiki nam za poljubno slučajno spremenljivko (zvezno ali nezvezno) pomaga določiti verjetnostno porazdelitev. Označujemo jo s . S pomočjo te funkcije lahko na enostaven način izračunamo momente.

Funkcija generiranja momentov nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo funkcije generiranja momentov je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo komplicirano funkcijo porazdelitve.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Za diskretne (nezvezne) slučajne spremenljivke je funkcija generiranja momentov enaka:

Za zvezne slučajne spremenljivke:

.

kjer je

Računanje momentov[uredi | uredi kodo]

Posamezne momente lahko izračunamo na naslednji način:

oziroma

Kadar funkcija obstoja za t = 0, potem nam omogoča generiranje momentov za verjetnostno porazdelitev. Zaradi tega se ta funkcija tudi imenuje funkcija generiranja momentov.

Povezava s kumulantami[uredi | uredi kodo]

Funkcijo generiranja momentov lahko napišemo kot:

Posamezne kumulante dobimo na naslednji način:

.

Povezava kumulant in momentov je naslednja:

Zgledi[uredi | uredi kodo]

porazdelitev funkcija generiranja momentov g(t) karakteristična funkcija φ(t)
binomska porazdelitev B(n, p)    
Poissonova porazdelitev Pois(λ)    
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)    
normalna porazdelitev N(μ, σ2)    
porazdelitev hi-kvadrat χ2k    
porazdelitev gama Γ(k, θ)    
eksponentna porazdelitev Exp(λ)    
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)    
izrojena porazdelitev δa    
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)    
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ) ni določena  

Glej tudi[uredi | uredi kodo]