Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Funkcija generiranja momentov je v teoriji verjetnosti in statistiki nam za poljubno slučajno spremenljivko (zvezno ali nezvezno) pomaga določiti verjetnostno porazdelitev . Označujemo jo s
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)\!}
momente .
Funkcija generiranja momentov nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti . S pomočjo funkcije generiranja momentov je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo komplicirano funkcijo porazdelitve.
Za diskretne (nezvezne) slučajne spremenljivke je funkcija generiranja momentov enaka:
g
(
t
)
=
E
[
e
t
X
]
=
∑
i
=
1
n
p
i
e
t
X
i
{\displaystyle \ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}e^{tX_{i}}}
Za zvezne slučajne spremenljivke:
g
(
t
)
=
E
[
e
t
X
]
=
∫
−
∞
∞
e
t
x
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx}
kjer je
Posamezne momente lahko izračunamo na naslednji način:
μ
1
=
d
g
d
t
|
t
=
0
=
g
′
(
0
)
{\displaystyle \ \mu _{1}={\frac {dg}{dt}}|_{t=0}=g'(0)}
μ
2
=
d
2
g
d
t
2
|
t
=
0
=
g
″
(
0
)
{\displaystyle \ \mu _{2}={\frac {d^{2}g}{dt^{2}}}|_{t=0}=g''(0)}
…
{\displaystyle \ \ldots }
oziroma
E
(
X
n
)
=
g
X
(
n
)
(
0
)
=
d
n
g
X
d
t
n
(
0
)
.
{\displaystyle E\left(X^{n}\right)=g_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}g_{X}}{dt^{n}}}(0).}
Kadar funkcija obstoja za t = 0, potem nam omogoča generiranje momentov za verjetnostno porazdelitev . Zaradi tega se ta funkcija tudi imenuje funkcija generiranja momentov .
Funkcijo generiranja momentov lahko napišemo kot:
g
(
t
)
=
log
(
E
(
e
t
X
)
)
=
∑
n
=
1
∞
κ
n
t
n
n
!
=
μ
t
+
σ
2
t
2
2
+
⋯
.
{\displaystyle g(t)=\log(E(e^{tX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}
Posamezne kumulante dobimo na naslednji način:
κ
1
=
μ
=
g
′
(
0
)
,
κ
2
=
σ
2
=
g
″
(
0
)
,
⋮
κ
n
=
g
(
n
)
(
0
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=\mu =g'(0),\\\kappa _{2}&=\sigma ^{2}=g''(0),\\&\vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0).\end{aligned}}}
Povezava kumulant in momentov je naslednja:
κ
1
=
μ
1
{\displaystyle \kappa _{1}=\mu _{1}\,}
κ
2
=
μ
2
{\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}
κ
3
=
μ
3
{\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}
κ
4
=
μ
4
−
3
μ
2
2
{\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}\,}
κ
5
=
μ
5
−
10
μ
2
μ
3
{\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{2}\mu _{3}\,}
porazdelitev
funkcija generiranja momentov g (t )
karakteristična funkcija φ(t)
binomska porazdelitev B(n, p )
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{t})^{n}}
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}
Poissonova porazdelitev Pois(λ )
e
λ
(
e
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{t}-1)}}
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b )
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
normalna porazdelitev N (μ, σ2 )
e
t
μ
+
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
e
i
t
μ
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
porazdelitev hi-kvadrat χ2 k
(
1
−
2
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2t)^{-k/2}}
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}
porazdelitev gama Γ(k, θ )
(
1
−
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-t\theta )^{-k}}
(
1
−
i
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}}
eksponentna porazdelitev Exp(λ )
(
1
−
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-t\lambda ^{-1})^{-1}}
(
1
−
i
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}
multivariantna normalna porazdelitev N (μ , Σ )
e
t
T
μ
+
1
2
t
T
Σ
t
{\displaystyle \,e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}
e
i
t
T
μ
−
1
2
t
T
Σ
t
{\displaystyle \,e^{it^{\mathrm {T} }\mu -{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}
izrojena porazdelitev δa
e
t
a
{\displaystyle \,e^{ta}}
e
i
t
a
{\displaystyle \,e^{ita}}
Laplaceova porazdelitev L(μ, b )
e
t
μ
1
−
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}}}
e
i
t
μ
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ )
ni določena
e
i
t
μ
−
θ
|
t
|
{\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}}
![{\displaystyle \ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}e^{tX_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce000376e92c1657dec723bae08255da19305ea5)
![{\displaystyle \ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4e713496ea76ef43540e7a6a2878497ab89eff)
