Kumulanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kumulanta n-tega reda slučajne spremenljivke X je v teoriji verjetnosti in statistiki določena z logaritmom funkcije, s pomočjo katere lahko generiramo momente porazdelitve. n-ti odvod je kumulanta n-tega reda. Kumulante se uporabljajo podobno kot momenti verjetnostne porazdelitve. Obe skupini vrednosti sta si po uporabi ekvivalentni. Je pa uporaba kumulant včasih bolj enostavna kot uporaba momentov. Kumulanto n-tega reda označimo s n.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Funkcija, ki omogoča izračunavanje kumulant, se označuje z g(t):

n-ti odvod funkcije g(t) je kumulanta n-tega razreda ali

Funkcijo je prvi uvedel danski astronom in matematik Thornwald Nicolai Thiele (1838 -1910).


Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Invariantnost na premik:

  • za n ≥ 2

kjer je c konstanta

Homogenost:

Aditivnost:

Kumulante kot funkcije momentov[uredi | uredi kodo]

Navedenih je nekaj povezav med momenti in kumulantami:

Kumulante nekaterih diskretnih porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Izrojena porazdelitev (konstantna slučajna spremenljivka) pri kateri je X = 1. Zanjo velja g '(t) = 1. Prva kumulanta κ1 = 1, ostale kumulante κ2, κ3, … so nič.

Bernoullijeva porazdelitev Če je p = 1, potem velja, da imamo konstantno naključno spremenljivko z X = 1.
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((p −1−1)•et + 1)−1.

Prvi dve kumulanti sta:

  • κ1 = g '(0) = p in
  • κ2 = g ' '(0) = p•(1 − p) .

Vsako naslednjo kumulanto lahko izračunamo iz obrazca


Geometrična porazdelitev
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((1 − p)−1•et − 1)−1.

Prvi kumulanti sta

  • κ1 = g '(0) = p−1 − 1,
  • κ2 = g ' '(0) = κ1p − 1.


Poissonova porazdelitev
Prvi odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = μ•et.
Vse kumulante so enake: κ1 = κ2 = κ3 = ...= μ.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]