Slučajna spremenljivka

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Slučajna spremenljivka je količina, ki nastopi kot rezultat poskusa (dogodka), kjer je možnih več izidov. Pri tem pa pojavitev katerekoli vrednosti iz danega območja predstavlja slučajno vrednost. Pojem slučajna spremenljivka se uporablja v statistiki in za opisovanje stohastičnih pojavov.

Definicija : Naj bo (Ω, F, P) verjetnostni prostor.

Slučajna spremenljivka na (Ω, F, P) je taka funkcija X : Ω -> R, za katero velja {ω є Ω : X (ω) ≤ x} є F za vse x є R.

Porazdelitvena funkcija verjetnosti F(x) slučajne spremenljivke X je funkcija, ki ima pri vsaki realni vrednosti x, vrednost enako dogodka X ≤ x za x є R, to je F(x) = P(X ≤ x).

Ni težko razmisliti, da za porazdelitveno funkcijo velja \lim_{x\to-\infty} F(x) = 0  in \lim_{x\to\infty} F(x) = 1 , kakor tudi to da je nepadajoča funkcija.

Poznamo dva pomembna razreda slučajnih spremenljivk, diskretne in zvezne slučajne spremenljivke. (Obstajajo pa tudi slučajne spremenljivke, ni niso ne diskretne ne slučajne.)

Diskretne slučajne spremenljivke[uredi | uredi kodo]

Porazdelitveni zakon diskretne slučajne spremenljivke se imenuje diskretna porazdelitev. Kadar za diskretno slučajno spremenljivko X poznamo porazdelitveni zakon, ga zapišemo v obliki :


    X : \begin{pmatrix} x_1 & x_2... & x_k... & x_n \\ p_1 & p_2... & p_k... & p_n \end{pmatrix},

kjer je P(X = xi)= pi. Pri tem velja :  \sum_{i=1}^n p_i = 1 in pi ≥ 0 za vse i. Ta oblika zakona velja za diskretne slučajne spremenljivke, ki zavzamejo končno mnogo vrednosti. V primeru diskretnih slučajnih spremenljivk, ki zavzamejo neskončno mnogo vrednosti, recimo (x1, x2, ...), verjenostno porazdelitev lahko podamo z eksplicitnim predpisom vrednosti P(X = xk) za vse k.

Zgled : Bernoullijeve slučajne spremenljivke

Slučajnim spremenljivkam z vrednostmi v {0, 1} pravimo Bernoullijeve slučajne spremenljivke ali indikatorji. Naj bo p є [0, 1], q = 1 - p. Označimo X ~ Bernoulli(p).

P(X = 1) = p

P(X = 0) = q

Primer : V mrzlem jutru bo avto vžgal z verjetnostjo p.

Zgled : Geometrijska porazdelitev

Pravimo, da ima X geometrijsko porazdelitev s parametrom p є [0, 1](q = 1 - p), če velja

• Slika(X) = {1,2,...} in

• P(X = k) = pqk-1 za vse k = 1,2,3...


Označimo X ~ Geom(p). Spet dobimo verjetnostno porazdelitev, saj je


   \sum_{k=1}^{\infty}pq^{k-1}
     = p \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{p}{1 - q} = 1.

(Da bo druga enakost veljala tudi v primeru p=1, se zedinimo, da je 00 = 1.)

Porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke je funkcija F(x), določena z


  F(x) = \sum_{x_i \leq x}p_i.

Zvezne slučajne spremenljivke[uredi | uredi kodo]

Definicija : Slučajna spremenljivka X je zvezna, če njeno porazdelitveno funkcijo Fx lahko zapišemo v obliki


   F_x(x) = P(X  \leq  x) =  \int_{\infty}^x f_{x}(u)du,

kjer je fx ≥ 0 nenegativna funkcija. Taki funkciji fx pravimo gostota slučajne spremenljivke X.

Za gostoto fx velja, da je fx (x) = F'x (x), če odvod Fx v točki x obstaja. V točkah x, kjer odvod ne obstaja, pa je gostota enaka fx (x) = 0.

Zgled: Enakomerna porazdelitev na intervalu

Enakomerna porazdelitev na intervalu [a,b] ima gostoto


    f(x) =
      \begin{cases}
        \frac{1}{b-a}, & \text{za }  a < x < b; \\
        0, & \text {sicer.}
      \end{cases}

in porazdelitveno funkcijo


    F(x) =
      \begin{cases}
        0, & \text{za }  x < a;\\
        \frac{x-a}{b-a}, & \text{za }  a  \leq  x \leq  b; \\
        1, & \text {za }  x > b.
      \end{cases}

Zgled: Eksponentna porazdelitev

Eksponentna porazdelitev s parametrom λ > 0 ima gostoto


    f(x) =
      \begin{cases}
        0, & \text{za }  x \leq 0; \\
        \lambda e^{-\lambda x}, & \text {za }  x > 0.
      \end{cases}

in porazdelitveno funkcijo


    F(x) =
      \begin{cases}
        0, & \text{za }  x \leq 0; \\
        1 - e^{-\lambda x}, & \text {za }  x > 0.
      \end{cases}

Zgled: Splošna normalna porazdelitev

Podana formula predstavlja funkcijo gostoto verjetnosti.


   \varphi_{\mu {,}\sigma^2}(x) =
   \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}  e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}

za vse x-e, ki so v množici realnih števil.


Standard deviation diagram.svg


Normalno porazdelitev označimo z N(μ,σ2). V primeru μ = 0, σ = 1 jo imenujemo standardna normalna porazdelitev. Standardna normalna porazdelitev je porazdelitev vrednosti s povprečjem (aritmetično sredino) 0 in standardnim odklonom 1.

Funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev.