Binomska porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Binomska porazdelitev
Funkcija verjetnosti binomske porazdelitve
Zbirna funkcija verjetnosti binomske porazdelitve
(barve so enake kot na zgornji sliki)
oznaka porazdelitve B(n, p)
parametri nN (naravna števila) število poskusov
p ∈ [0,1] — verjetnost uspeha pri poskusu
interval k ∈ { 0, …, n }
funkcija verjetnosti
(pdf)
\textstyle {n\choose k}\, p^k (1-p)^{n-k}
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
I_{1-p}(n - \lfloor k \rfloor, 1 + \lfloor k \rfloor)
pričakovana vrednost np
mediana np⌋ ali ⌈np
modus ⌊(n + 1)p⌋ ali ⌊(n + 1)p⌋ − 1
varianca np(1 − p)
simetrija \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}
sploščenost
(eksces)
\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}
entropija  \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)
funkcija generiranja momentov
(mgf)
(1-p + pe^t)^n \!
karakteristična funkcija (1-p + pe^{it})^n \!
Opomba: Oznaka \lfloor   \rfloor pomeni spodnji celi del števila (floor),
\lceil  \rceil pa zgornji celi del števila (ceiling)

Binomska porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev n uspešnih izidov zaporednih neodvisnih poskusov, kjer sta možna samo dva izida da in ne. Takšno vrsto neodvisnih poskusov imenujemo Bernoullijevi poskusi, sam postopek pa Bernoullijev postopek. Binomsko porazdelitev določata dva parametra:

  • število poskusov (v poskusu se lahko zgodi dogodek da (uspešni dogodek) ali njemu nasprotni dogodek ne)
  • verjetnost p, da se v poskusu zgodi dogodek da

Verjetnost, da se v zaporedju n-tih poskusov zgodi dogodek da, k-krat, izračunamo po obrazcu \textstyle {n\choose k}\, p^k (1-p)^{n-k}.

Binomske porazdelitve ne smemo zamenjati z bimodalno porazdelitvijo.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Verjetnost, da je bilo pri n izvedenih poskusih k uspešnih in če je verjetnost za uspešnost posameznega poskusa enaka p, lahko zapišemo funkcijo verjetnosti f(k, n, p) kot

 \Pr(K = k) = f(k;n,p) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}

kjer je


Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko zapišemo kot

F(x;n,p) = \Pr(X \le x) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}

Če vpeljemo nepopolno funkcijo beta

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

in pripadajočo regulirano nepopolno beta funkcijo

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

potem lahko zbirno funkcijo verjetnosti zapišemo kot


\begin{align}
F(k;n,p) & = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) \\
& = (n-k) {n \choose k} \int_0^{1-p} t^{n-k-1} (1-t)^k \, dt.
\end{align}

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka np.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka np(1 − p).

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}.

Mediana[uredi | uredi kodo]

Mediana je enaka ⌊np⌋ ali ⌈np⌉.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}.

Povezava z Bernoullijevo porazdelitvijo[uredi | uredi kodo]

Kadar je n = 1 dobimo Bernoullijevo porazdelitev.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]