Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti ali porazdelitvena funkcija (oznaka cdf iz cumulative distribution function) je v verjetnostnem računu funkcija, ki opisuje verjetnostno porazdelitev realne slučajne spremenljivke $X$. Označuje se jo z $F(x)$.

Za realno število je zbirna porazdelitvena funkcija določena z:

$x\mapsto F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)\!\,,$

kjer $X\leq x$ pomeni verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka vrednosti $x$. Verjetnost, da slučajna spremenljivka leži v intervalu $(a,b]$ je torej enaka:

$F_{X}(b)-F_{X}(a)\!\,$, če je $a<b\!\,$.

Z uporabo gostote verjetnosti $f(t)\!$ se lahko zapiše:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\!\,.$

Značilnosti pri diskretni spremenljivki

Če je $X$ diskretna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti $x_{1},x_{2},x_{3},$ ... z verjetnostmi $p_{1}=P(x_{1})$, potem ima funkcija nezveznosti v točkah $x_{i}$ in je konstantna med vrednostmi:

$F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})\!\,.$

Velja tudi $\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ in $\lim \limits _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$.

Primer

Mečemo igralno kocko. Naj bo slučajna spremenljivka $X$ definirana kot število padlih pik. Ker je kocka poštena, ima vsaka možna vrednost $X$ enako verjetnost, torej:

$P(X=k)={\frac {1}{6}},\quad k\in \{1,2,3,4,5,6\}$

Za različne vrednosti porazdelitvene funkcije $F_{X}(x)$ dobimo:

$F_{X}(x)={\begin{cases}0,&x<1,\\{\frac {1}{6}},&1\leq x<2,\\{\frac {2}{6}},&2\leq x<3,\\{\frac {3}{6}},&3\leq x<4,\\{\frac {4}{6}},&4\leq x<5,\\{\frac {5}{6}},&5\leq x<6,\\1,&x\geq 6.\end{cases}}$

Značilnosti pri zvezni spremenljivki

Kadar je spremenljivka $X$ zvezna slučajna spremenljivka, je tudi $F$ absolutno zvezna in obstaja po Lebesguu integrabilna funkcija $f(x)$ tako, da je:

$F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\!\,.$

Verjetnost, da spremenljivka $X$ zavzame točno vrednost $b$, se lahko določi z:

$\operatorname {P} (X=b)=F(b)-\lim _{x\to b^{-}}F(x)\!\,.$