Celi del

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije celi del

Céli dél ali spódnji céli dél je v matematiki funkcija, ki vsakemu realnemu številu x priredi največje celo število manjše ali enako x. Na primer [2,9] = 2, [−2] = −2 in [−2,3] = −3. Pri označevanju funkcije po navadi uporabljamo oglate oklepaje [x], ali v obliki \lfloor x \rfloor. Funkcijo v tuji literaturi označujejo tudi kot floor(x). Funkcijo imenujemo tudi Gaussov oklepaj. Angleško ime »floor« in znak je skoval kanadski matematik in računalnikar Kenneth Eugene Iverson. Funkcija x−[x], ki jo zapišemo tudi kot x mod 1 ali kot (x), se imenuje decimalni del ali ulomljeni del x. Vsak ulomek x ≥ 0 lahko zapišemo kot pravi ulomek, kot vsoto celega števila in pravega ulomka. Celi del in decimalni del v tem smislu veljata za vse realne vrednosti.

Graf celega dela je zgled stopničaste funkcije.

Nekatere značilnosti celega dela[uredi | uredi kodo]

Vedno velja:

 \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1 \; ,

kjer enakost na levi velja le, če je x celo število. Za celo število k in realno število x velja:

 \lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor

Običajno zaokrožitev števila x k najbližjemu celemu številu lahko zapišemo kot [x + 0,5].

Funkcija celi del ni zvezna, vendar je zgoraj polzvezna.

Če je x realno in n celo število, je nx, če in samo če je n ≤ [x]. Ali drugače rečeno, funkcija celi del je del Galoisove povezave. Je zgornja povezava za funkcijo, ki vloži cela števila v realna.

Z uporabo celega dela lahko skonstruiramo več nedvoumnih, sicer nepraktičnih, enačb za praštevila.

Zgornji celi del[uredi | uredi kodo]

Sorodna matematična funkcija je zgornji celi del, ki vsakemu realnemu številu x priredi najmanjše celo število večje ali enako x. Funkcijo v tuji literaturi označujejo kot ceiling(x). Na primer zgornji celi del(2,3) = 3, zgornji celi del(2) = 2 in zgornji celi del(−2,3) = −2. Zgornji celi del označimo tudi kot \lceil x \rceil. Veljata naslednji preprosti zvezi:

\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor

in:

x \leq \lceil x \rceil < x + 1 \; .

Za celo število k velja enakost:

\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k \; .

Če sta m in n tuji pozitivni celi števili, velja:

\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2

Beattyjev izrek iz leta 1926 pove, kako lahko vsako pozitivno iracionalno število razdelimo z naravnimi števili v dve zaporedji s pomočjo celega dela.

Operator (int) v C[uredi | uredi kodo]

C in sorodni programski jeziki lahko s pretvorbo tipov spreminjajo vrednost s tekočo vejico v celoštevilsko s predpono (int). Ta operacija je mešanica celega in spodnjega celega dela: za pozitivni x ali 0 vrne celi del [x], in za negativni x vrne spodnji celi del(x).

Kakor celi in spodnji celi del tudi ta operacija ni zvezna. Zaradi tega lahko poveča napake pri zaokroževanju s tragičnimi posledicami. Na primer (int)(0.6/0.2) vrne 2 v večini izvedb C-ja, četudi je 0,6/0,2 = 3. Razlog je v tem, ker računalnik deluje znotraj v dvojiškem sestavu, in je nemogoče predstaviti števili 0,6 in 0,2 s končnim dvojiškim znakovnim nizom. Zaradi tega se pojavljajo napake pri zaokroževanju in končna vrednost se izračuna kot 2,999999999999999555910790149937, in kar bo operator (int) veselo pretvoril v 2. Posixova funkcija floor(x) ima sorodne probleme. Zaradi teh težav večina sodobnih računal notranje uporablja desetiški sestav.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]