Cauchyjeva porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Cauchyjeva porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev.
oznaka  Cauchy (x_0, \gamma) \!
parametri x_0\! parameter lokacije (realno število)
\gamma > 0\! parameter merila (realno število)
interval x \in (-\infty; +\infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
pričakovana vrednost ni določena
mediana x_0
modus x_0
varianca ni določena (neskončna)
simetrija ni določena
sploščenost ni določena
entropija \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
funkcija generiranja momentov
(mgf)
ni določena
karakteristična funkcija \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!

Cauchyjeva porazdelitev (tudi Cauchy-Lorentzova porazdelitev) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema parametroma (lokacije in merila).

Imenuje se po francoskem matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857) in nizozemskem fiziku Hendriku Antoonu Lorentzu (1853 – 1928). Porazdelitev je znana kot Cauchyjeva porazdelitev, med fiziki pa je znana kot Lorentzova porazdelitev ali Breit-Wignerjeva porazdelitev.

Značilnosti porazdelitve[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev je:

 \begin{align}
f(x; x_0,\gamma)&= \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\[0.5em]
&= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right]
\end{align}

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka:

 F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2} \!\, .

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost ni določena.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca ni določena.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Standardna Cauchyjeva porazdelitev[uredi | uredi kodo]

Standardno Cauchyjevo porazdelitev dobimo takrat, ko je x_0 = 0 \! in  \gamma = 1 \!. V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka:

 f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \!\, .

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]