Študentova t porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Študentova t porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za študentovo t porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za študentovo t porazdelitev.
oznaka t(\nu) \!
tudi S(\nu) \!
parametri \nu > 0 \! prostostne stopnje (realno število)
interval x \in (-\infty; +\infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \cdot\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})}
     \end{matrix}
kjer je  _2F_1 \! hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost 0\text{ za }\nu>1 \!,
drugje je nedefinirana
mediana 0 \!
modus 0 \!
varianca \frac{\nu}{\nu-2}\text{ za }\nu>2\!,
\infty \! za 1<\nu\le2,
drugje nedefinirana
simetrija 0\text{ za }\nu>3 \!
sploščenost \frac{6}{\nu-4}\text{ za }\nu>4\!
entropija \begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+\nu}{2}) 
               - \psi(\frac{\nu}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}
funkcija generiranja momentov
(mgf)
(ni definirana)
karakteristična funkcija \frac{K_{\nu/2}(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t|)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0

Študentova t porazdelitev (tudi t porazdelitev ali Studentova t porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Študentovo t porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876 – 1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Študent (Student). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

 \frac{Z}{\sqrt{V/\nu\ }} = Z \sqrt{\nu / V}

kjer ima

Lastnosti t porazdelitve[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!.

kjer je

Kadar je \nu parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots(5)(3)} {2\sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots(4)(2)\,}.

Kadar pa je \nu neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots(4)(2)} {\pi \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots(5)(3)\,}.\!

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \cdot\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})}
     \end{matrix}

kjer je

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

\int_{-\infty}^t f(u)\,du = I_x\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right) = \frac{B\left(x;\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)}{B\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)}

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

0\text{ za }\nu>1 \!

drugje je nedefinirana.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{\nu}{\nu-2}\text{ za vrednosti }\nu>2\!,
\infty \! za 1<\nu\le2,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

\frac{6}{\nu-4}\text{ za }\nu>4\!.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

  • Slučajna spremenljivka Y \! ima normalno porazdelitev Y \sim \mathrm{N}(0,1)\!, ko velja Y = \lim_{\nu \to \infty} X in ima slučajna spremenljivka X \! t porazdelitev X \sim \mathrm{t}(\nu) \!.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]