Študentova t porazdelitev

Študentova t porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za študentovo t porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za študentovo t porazdelitev.
oznaka	$t(\nu )\!$$t(\nu )\!$ tudi $S(\nu )\!$$S(\nu )\!$
parametri	$\nu >0\!$$\nu >0\!$ prostostne stopnje (realno število)
interval	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!$${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$ kjer je $_{2}F_{1}\!$$_{2}F_{1}\!$ hipergeometrična funkcija
pričakovana vrednost	$0{\text{ za }}\nu >1\!$$0{\text{ za }}\nu >1\!$, drugje je nedefinirana
mediana	$0\!$$0\!$
modus	$0\!$$0\!$
varianca	${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za }}\nu >2\!$${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za }}\nu >2\!$, $\infty \!$$\infty \!$ za $1<\nu \leq 2$$1<\nu \leq 2$, drugje nedefinirana
simetrija	$0{\text{ za }}\nu >3\!$$0{\text{ za }}\nu >3\!$
sploščenost	${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!$${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!$
entropija	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}$${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}$ $\psi \!$$\psi \!$: funkcija digama, $B\!$$B\!$: funkcija beta
funkcija generiranja momentov (mgf)	(ni definirana)
karakteristična funkcija	${\frac {K_{\nu /2}({\sqrt {\nu }}|t|)({\sqrt {\nu }}|t|)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}},\;\nu >0$${\frac {K_{\nu /2}({\sqrt {\nu }}|t|)({\sqrt {\nu }}|t|)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}},\;\nu >0$ $K_{\nu }(x)\!$$K_{\nu }(x)\!$: Besselova funkcija

Študentova t porazdelitev (tudi t porazdelitev ali Studentova t porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Študentovo t porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876 – 1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Študent (Student). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

${\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}$${\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}$

kjer ima

• $Z\!$$Z\!$ normalno porazdelitev s pričakovano vrednostjo $0\!$$0\!$ in varianco $1\!$$1\!$
• $V\!$$V\!$ ima porazdelitev hi-kvadrat z $\nu \!$$\nu \!$ prostostnimi stopnjami
• $Z\!$$Z\!$ and $V\!$$V\!$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!$${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!$.

kjer je

• $\Gamma (z)\!$$\Gamma (z)\!$ funkcija gama.
• $\nu \!$$\nu \!$ so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je $\nu$$\nu$ parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (5)(3)}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (4)(2)\,}}.$${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (5)(3)}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (4)(2)\,}}.$

Kadar pa je $\nu$$\nu$ neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (4)(2)}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (5)(3)\,}}.\!$${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots (4)(2)}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots (5)(3)\,}}.\!$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$

kjer je

• $_{2}F_{1}\!$$_{2}F_{1}\!$ hipergeometrična funkcija
• $\Gamma (z)\!$$\Gamma (z)\!$ funkcija gama.

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=I_{x}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {B\left(x;{\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}{B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}$$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=I_{x}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {B\left(x;{\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}{B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}$

kjer je

• $x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{2{\sqrt {t^{2}+\nu }}}}.$$x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{2{\sqrt {t^{2}+\nu }}}}.$.
• $B(x,a,b)\!$$B(x,a,b)\!$ nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$0{\text{ za }}\nu >1\!$$0{\text{ za }}\nu >1\!$

drugje je nedefinirana.

Varianca

Varianca je enaka

${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za vrednosti }}\nu >2\!$${\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ za vrednosti }}\nu >2\!$,
$\infty \!$$\infty \!$ za $1<\nu \leq 2$$1<\nu \leq 2$,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!$${\frac {6}{\nu -4}}{\text{ za }}\nu >4\!$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka $Y\!$$Y\!$ ima F porazdelitev $Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )\!$$Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )\!$ kadar je $Y=X^{2}\!$$Y=X^{2}\!$ in ima slučajna spremenljivka $X\!$$X\!$ Študentovo t porazdelitev $X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$$X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$.

• Slučajna spremenljivka $Y\!$$Y\!$ ima normalno porazdelitev $Y\sim \mathrm {N} (0,1)\!$$Y\sim \mathrm {N} (0,1)\!$, ko velja $Y=\lim _{\nu \to \infty }X$$Y=\lim _{\nu \to \infty }X$ in ima slučajna spremenljivka $X\!$$X\!$ t porazdelitev $X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$$X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$.

• Slučajna spremenljivka $X\!$$X\!$ ima Cauchyjevo porazdelitev $X\sim \mathrm {Cauchy} (0,1)\!$$X\sim \mathrm {Cauchy} (0,1)\!$, kadar ima $X\!$$X\!$ t porazdelitev $X\sim \mathrm {t} (\nu =1)\!$$X\sim \mathrm {t} (\nu =1)\!$.

Zunanje povezave

• Študentova t porazdelitev na MathWorld (v angleščini)
• Opis Študentove t porazdelitve (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev