Funkcija digama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije  \psi(x), \ (-5 \le x \le 10)
Funkcija digama  \psi(s) v kompleksni ravnini. Barva točke  s označuje vrednost  \psi(s) . Močne barve pomenijo vrednosti blizu 0, odtenek pa označuje vrednost argumenta.

Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ:

 \digamma(x) \equiv \psi(x) \equiv \Psi(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln{ \Gamma(x) } = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} \!\, .

Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot \psi_{0}, oziroma \psi^{0}. Je prva od funkcij poligama, ki so njeni n-ti odvodi.

Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto:

 \digamma(x) \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln{ x! } \!\, .

Obe tako definirani funkciji sta povezani z:

 \digamma(x) = \psi(x+1) \!\, .

Povezava s harmoničnimi števili[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili:

 \psi(n) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} - \gamma \equiv H_{n-1} - \gamma, \quad (n \ge 2) \!\, ,

kjer je Hn n-to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta. Za polovične vrednosti jo lahko izrazimo kot:

 \psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = - \gamma - 2\ln 2 + 
\sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1} \equiv - \gamma + H_{n-1/2} \!\, .

Integralska predstavitev[uredi | uredi kodo]

Izrazimo jo lahko z integralom:

 \psi(x) = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{t e^{t}} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\, \mathrm{d} t = 
                  \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{e^{t}} - \frac{1}{(1 - t)^{x}}\right)\,\frac{\mathrm{d} t}{t} =
        \ln x - \frac{1}{2x} -2 \int_{0}^{\infty} \frac{t\, \mathrm{d} t}{(t^{2}+x^{2})(e^{2\pi t}-1)}
\!\, ,

ki velja, če je realni del od x pozitiven. To lahko zapišemo kot:

 \psi(x+1)= -\gamma + \int_{0}^{\infty} \frac {e^{-t}-e^{-(x+1)t}}{1-e^{-t}} \, \mathrm{d} t =
                    -\gamma + \int_{0}^{1} \frac {1-t^{x}}{1-t} \, \mathrm{d} t \!\, ,

kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.

Razvoji v vrsto v kompleksnem[uredi | uredi kodo]

Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti:[1]

 \psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n} \zeta(n) z^{n-1} , \quad (|z| < 1 ) \!\, ,
 \psi(z+1)= \frac{1}{2}z^{-1} - \frac{1}{2}\pi \cot(\pi z) - (1-z^{2})^{-1} + 1 - \gamma -\sum_{n=1}^\infty \left[ \zeta(2n+1) -1\right]z^{2n} , \quad (|z| < 2 ) \!\, .

Funkcijo ψ lahko izračunamo v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:[2]

 \psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{n(n+z)} \right) , \quad (z \neq -1, -2, -3, \ldots ) \!\, .

Taylorjeva vrsta[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta, ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1:

 \psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k \!\, .

Vrsta konvergira za |z|<1. Tukaj je \zeta(n) Riemannova funkcija ζ. Vrsto lahko preprosto izpeljemo iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ.

Newtonova vrsta[uredi | uredi kodo]

Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:

 \psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k} \!\, ,

kjer je \textstyle{s \choose k} binomski koeficient.

Refleksijska formula[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo ψ velja refleksijska formula, ki je podobna tisti za funkcijo Γ:

 \psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) } \!\, .

Rekurenčna enačba[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba:

 \psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x} \!\, .

Lahko rečemo, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:

 \Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x} \!\, ,

kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste, od koder sledi enačba:

 \psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma \!\, .

V splošnem velja:

 \psi(x+1) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k} \right) \!\, .

Gaussovska vsota[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:

 \frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k 
\sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = 
\frac{1}{2} - \frac{m}{k} \!\,

za cela števila 0<m<k. Tukaj sta ζ(s,q) Hurwitzeva funkcija ζ in B_n(x) Bernoullijev polinom. Poseben primer multiplikacijskega izreka je:

 \sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right) =-k(\gamma+\log k) \!\, ,

posplošitev pa:

 \sum_{p=0}^{q-1}\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln q) \!\, ,

kjer je q naravno število, 1-qa pa ne.

Gaussov izrek za funkcijo ψ[uredi | uredi kodo]

Za pozitivni celi števili m in k (m < k) lahko funkcijo ψ izrazimo s pomočjo elementarnih funkcij kot:

 \frac{\Gamma'(m/k)}{\Gamma(m/k)} \equiv \psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \!\,

Računanje in približki[uredi | uredi kodo]

Po algoritmu AS 103 v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda lahko izračunamo funkcijo ψ za realni x z:

 \psi(x) = \ln x -\frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + O\left(\frac{1}{x^8}\right) \!\, ,

ali:

 \psi(x) = \ln x - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} \!\, ,
 \psi(x) = \ln x - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n x^{2n}} \!\, .

Tu je n celo število, B_{n} pa n-to Bernoullijevo število, \zeta(n) pa Riemannova funkcija ζ.

Druge značilnosti[uredi | uredi kodo]

kjer je  \zeta(x) Riemannova funkcija ζ.
  • Logaritemski razvoj:
     \psi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\ln(x+k) \!\, .
  • Dvakratni argument:
     \psi(2x) = \frac{1}{2} \psi(x) + \frac{1}{2} \psi \left( x+\frac{1}{2} \right) + \ln 2 \!\, .

Posebne vrednosti funkcije ψ[uredi | uredi kodo]

Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.

 \psi(8) = \frac{363}{140} - \gamma \!\,
 \psi(6) = \frac{137}{60} - \gamma \!\,
 \psi(4) = \frac{11}{6} - \gamma \!\,
 \psi(3) = \frac{3}{2} - \gamma \!\,
 \psi(2) = 1 - \gamma \!\,
 \psi(1) = - \gamma \!\,
 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma \!\,
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma \!\,
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma \!\,
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma \!\,
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right] - \gamma \!\,

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Abramowitz, Stegun, 6.3.14; 6.3.15, str. 259.
  2. ^ Abramowitz, Stegun, 6.3.16, str. 259.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

  • Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ (v angleščini)
  • [1] - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda (v angleščini)