Funkcija digama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije
Funkcija digama v kompleksni ravnini. Barva točke označuje vrednost . Močne barve pomenijo vrednosti blizu 0, odtenek pa označuje vrednost argumenta.

Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ:

Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot , oziroma . Je prva od funkcij poligama, ki so njeni n-ti odvodi.

Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto:

Obe tako definirani funkciji sta povezani z:

Povezava s harmoničnimi števili[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili:

kjer je Hn n-to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta. Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot:

Integralski izrazi[uredi | uredi kodo]

Izrazi se jo lahko z integralom:

ki velja, če je realni del od pozitiven. To se lahko zapiše kot:

kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.

Razvoji v vrsto v kompleksnem[uredi | uredi kodo]

Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti:[1]

Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:[2]

Taylorjeva vrsta[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta, ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1:

Vrsta konvergira za |z|<1. Tukaj je Riemannova funkcija ζ. Vrsto se lahko preprosto izpelje iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ.

Newtonova vrsta[uredi | uredi kodo]

Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:

kjer je binomski koeficient.

Refleksijska formula[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo ψ velja refleksijska formula, ki je podobna tisti za funkcijo Γ:

Rekurenčna enačba[uredi | uredi kodo]

Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba:

Lahko se reče, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:

kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste, od koder sledi enačba:

V splošnem velja:

Gaussovska vsota[uredi | uredi kodo]

Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:

za cela števila . Tukaj sta ζ(s,q) Hurwitzeva funkcija ζ in Bernoullijev polinom. Poseben primer multiplikacijskega izreka je:

posplošitev pa:

kjer je q naravno število, 1-qa pa ne.

Gaussov izrek za funkcijo ψ[uredi | uredi kodo]

Za pozitivni celi števili m in k (m < k) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot:

Računanje in približki[uredi | uredi kodo]

Po algoritmu AS 103 v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda se lahko izračuna funkcijo ψ za realni x z:

ali:

Tu je n celo število, pa n-to Bernoullijevo število, pa Riemannova funkcija ζ.

Druge značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • Razvoja v neskončno vrsto:
kjer je Riemannova funkcija ζ.
  • Logaritemski razvoj:
  • Dvakratni argument:

Posebne vrednosti[uredi | uredi kodo]

Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Abramowitz, Stegun, 6.3.14; 6.3.15, str. 259.
  2. ^ Abramowitz, Stegun, 6.3.16, str. 259.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

  • Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ (v angleščini)
  • [1] - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda (v angleščini)