Racionalna vrsta zeta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Racionalna vrsta zeta je v matematiki predstavitev poljubnega realnega števila z neskončno vrsto, ki vsebuje racionalna števila, z Riemannovo funkcijo ζ(s) ali Hurvitzevo funkcijo ζ(s, q). Posebej je za dano realno število racionalna vrsta ζ dana kot:

kjer je racionalno število, vrednost je fiksna, pa je Hurwitzeva funkcija ζ. Ni težko pokazati, da se na ta način lahko predstavi vsako realno število .

Elementarne vrste[uredi | uredi kodo]

Za celo število je:

Za ima več zanimivih števil preproste izraze kot racionalne vrste ζ:

in:

(OEIS A153810),

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vrsta:

sledi iz vsote Gauss-Kuzminove porazdelitve. Obstajata tudi vrsti za število π:

in:

ki je pomembna zaradi hitre konvergence. Zadnja vrsta sledi iz splošne enakosti:

ki sledi iz rodovne funkcije za Bernoullijeva števila :

Adamchik in Srivastava sta podala podobno vrsto:[1]

Vrste povezane s funkcijo poligama[uredi | uredi kodo]

Iz Taylorjeve vste za funkcijo poligama v točki se lahko ipelje več dodatnih povezanih izrazov. Taylorejeva vrsta v tej točki je:

Vrsta konvergira za . Posebni primer je:

Tukaj je ψ funkcija digama, pa je funkcija poligama. Lahko se izpelje več vrst z binomskimi koeficienti:

kjer je kompleksno število. Izraz sledi iz razvoja v vrsto Hurwitzeve ζ:

v točki . Podobne vrste se lahko izpeljejo s preprosto algebro:

in alternirajoče vrste:

Za celo število se lahko vrsta:

zapiše kot končna vsota:

Izraz sledi iz preproste rekurzivne enačbe .

Naslednja vrsta:

se lahko za celo število zapiše kot:

Izraz sledi iz enakosti . Ta proces se lahko uporabi rekurzivno za končno vsoto splošnih izrazov oblike:

Polcele potenčne vrste[uredi | uredi kodo]

Podobne vrste se lahko razvijejo z raziskovanjem Hurwitzeve funkcije ζ za polcela števila. Tako je na primer vrsta:

Izrazi v obliki p-vrst (hiperharmoničnih vrst)[uredi | uredi kodo]

Adamchik in Srivastava sta podala vrsti:[1]

in:

kjer so Bernoullijeva števila, pa Stirlingova števila 2. vrste.

Druge vrste[uredi | uredi kodo]

Drugi konstanti s pomembnima racionalnima vrstama ζ sta na primer:

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Borwein, Jonathan Michael; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000), "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF), J. Comp. App. Math., 121 (1–2): 247–296, doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8
  • Adamchik, Victor S.; Srivastava, H. M. (1998), "Some series of the zeta and related functions" (PDF), Analysis, 18: 131–144, doi:10.1524/anly.1998.18.2.131