Apéryjeva konstanta

Seznam števil Iracionalna števila γ ζ(3) ρ √2 Φ √3 √5 δS √6 e π δ
dvojiško	1,0011001110111010...
desetiško	1,2020569031595942854...
šestnajstiško	1,33BA004F00621383...
verižni ulomek	$[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,\cdots \!\,$ Verižni ulomek $\zeta (3)\!\,$ je neskončen, ni pa znano ali je periodičen ali ne.

Dvozančni Feynmanov diagram, katerega rezultat vsebuje $6\zeta (3)\!\,$. To predvideva 4-razsežno integracijo po gibalnih količinah notranjih zank, ki vsebuje samo brezmasne navidezne delce in ustrezno normalizacijo, vključno s stopnjo gibalne količine zunanjega delca $k\!\,$.

Približki Apéryjeve konstante (modra premica) z njenimi delnimi vsotami (rdeče)

Apéryjeva konstanta je v matematiki, na meji med teorijo števil in specialnimi funkcijami, vsota obratnih vrednosti kubov naravnih števil (pozitivnih celih števil). Določena je kot število:

${\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)\!\,,\end{aligned}}$

kjer je $\zeta \!\,$ Riemannova funkcija zeta. Njena približna desetiška vrednost je enaka (OEIS A002117):

$\zeta (3)=1,20205\ 69031\ 59594\ 28539\ 97381\ 61511\ 44999\ 07649\ 86292\ldots \!\,.$

Realna konstanta se imenuje po Rogerju Apéryju.

Uporabe

Konstanta se naravno pojavlja v mnogih fizikalnih problemih, vključno z izrazi drugega in tretjega reda elektronskega giromagnetnega razmerja s pomočjo kvantne elektrodinamike (QED). Pojavlja se tudi pri analizi naključnih minimalno vpetih dreves in v povezavi s funkcijo gama pri reševanju določenih integralov z eksponentnimi funkcijami v količniku, ki se občasno pojavlja v fiziki, na primer pri izračunavanju dvorazsežnega primera Debyjevega modela in Sfefan-Boltzmannovega zakona.

Značilnosti

Racionalna števila ($\mathbb {Q} \!\,$), algebrska števila ($\mathbb {A} \!\,$), algebrske periode (${\mathcal {P}}\!\,$) in eksponentne periode (${\mathcal {EP}}\!\,$) so podmnožica kompleksnih števil ($\mathbb {C} \!\,$).

Apéry je leta 1978 dokazal, da je konstanta iracionalno število. Ta rezultat je znan kot Apéryjev izrek. Izvirni dokaz je kompleksen in težek za razumevanje. Kasneje so našli preprostejše dokaze.

Beukersov preprostejši dokaz iracionalnosti vključuje aproksimacijo integranda znanega trojnega integrala za $\zeta (3)\!\,$:

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\!\,$

z Legendrovimi polinomi. Van der Poortenov članek še posebej obravnava ta pristop, kjer je navedeno, da velja:

$I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=b_{n}\zeta (3)-a_{n}\!\,,$

kjer so $|I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}\!\,$, $P_{n}(z)\!\,$ Legendrovi polinomi, podzaporedja $b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z}$ pa so cela ali skoraj cela števila.

Ni znano ali je Apéryjeva konstanta transcendentno število. Znano je da je algebrska perioda. To takoj sledi iz oblike njenega trojnega integrala.

Predstavitve z vrstami

Klasično

Euler je poleg osnovne vrste:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}\!\,$

leta 1772 podal vrsto:

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)\!\,,$

ki so jo kasneje večkrat ponovno odkrili.

Med druge klasične predstavitve z vrstami spadata vrsti:

$\zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}\!\,,$

$\zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}\!\,.$

Hitra konvergenca

Od 19. stoletja je mnogo matematikov našlo vrste s pospešeno konvergenco za izračun decimalk $\zeta (3)\!\,$. Od 1990-ih se je to iskanje osredotočilo na računsko učinkovite vrste s veliko stopnjo konvergence (glej razdelek Znane decimalke).

Naslednjo vrsto je našel Andrej Markov leta 1890, jo ponovno odkrila Hjortnaesova leta 1953, in še enkrat, kar je postalo znano širše, Apéry leta 1979:

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}\!\,.$

Naslednja vrsta da (asimptotično) 1,43 novega pravilnega decimalnega mesta po členu:

$\zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}\!\,.$

Naslednja vrsta da (asimptotično) 3,01 novih pravilnih decimalnih mest na člen:

$\zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}\!\,.$

Naslednja vrsta da (asimptotično) 5,04 novih pravilnih decimalnih mest na člen:

$\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}\!\,.$

Uporabili so jo za izračun Apéryjeve konstante na več milijonov pravilnih decimalnih mest.

Naslednja vrsta da (asimptotično) 3,92 novih pravilnih decimalnih mest na člen:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629{k}+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}\!\,.$

Po posameznih števkah

Broadhurst je leta 1998 podal vrsto, ki omogoča izračun poljubne dvojiške števke in zaradi tega je možno izračunati konstanto v skoraj linearnem času in logaritemskem prostoru.

Thue-Morsejevo zaporedje

Apéryjeva konstanta se lahko predstavi tudi s členi Thue-Morsejevega zaporedja $(t_{n})_{n\geq 0}\!\,$ kot sledi:

$\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}=8\zeta (3)\!\,.$

To je poseben primer naslednje formule, veljavne za vse $s\!\,$ z realnim delom večjim od $1\!\,$:

$(2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s)\!\,.$

Drugo

Naslednjo vrsto je našel Ramanudžan:

$\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}\!\,.$

Naslednjo vrsto je našel Plouffe leta 1998:

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\!\,.$

Srivastava je zbral veliko vrst ($\zeta (2n+1),\,n\in \mathbb {N} \!\,$), ki konvergirajo k Apéryjevi konstanti. Na primer:

$\zeta (3)=-{\frac {6\pi ^{2}}{23}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(98k+121)\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)(2k+5)}}\!\,,$

ki konvergira hitreje kot Eulerjeva ali Markova.

Integralske predstavitve

Za Apéryjevo konstanto obstaja mnogo integralskih predstavitev. Nekatere so enostavne, druge pa bolj zapletene.

Enostavne formule

Naslednji izraz na primer sledi iz vsote za Apéryjevo konstanto:

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\!\,.$

Naslednja dva sledita iz dobro znanih integralskih formul za Riemannovo funkcijo zeta:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\!\,$

in:

$\zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\!\,.$

Naslednji sledi iz Taylorjevega razvoja funkcije $\chi _{3}(e^{ix})\!\,$ okrog točke $x=\pm \pi /2\!\,$, kjer je $\chi _{\nu }(z)\!\,$ Legendrova funkcija hi:

$\zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log {(\sec {x}+\operatorname {tg} {x})}\,\mathrm {d} x\!\,.$

Izraz je podoben izrazu:

$G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\log {(\sec {x}+\operatorname {tg} {x})}\,\mathrm {d} x\!\,,$

kjer je $G\!\,$ Catalanova konstanta.

Bolj zapletene formule

Med druge formule spadajo:

$\zeta (3)=\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\operatorname {arctg} {x})}{\left(x^{2}+1\right)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\!\,$

in:

$\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{\,1-xy\,}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{\,xy\,}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\!\,.$

S kombinacijo obeh izrazov se lahko dobi izraz:

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!{\frac {\log(x)\log(1-x)}{\,x\,}}\,\mathrm {d} x\!\,.$

S simetrijo sledi:

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!{\frac {\log(x)\log(1-x)}{\,1-x\,}}\,\mathrm {d} x\!\,.$

S seštevanjem obeh izrazov sledi:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!{\frac {\log(x)\log(1-x)}{\,x(1-x)\,}}\,\mathrm {d} x\!\,.$

In tudi:

${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,\mathrm {d} x\!\,.\end{aligned}}$

Povezava z odvodi funkcije gama:

$\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)\!\,$

je tudi zelo uporabna za izpeljavo različnih integralskih izrazov prek znanih integralskih formul za funkcijo gama in funkcije poligama.

Povezava z drugimi funkcijami

Apéryjeva konstanta se pojavlja tudi pri razvoju funkcije gama v Taylorjevo vrsto:

$\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]\!\,,$

kjer je v prispevku množitelja $e^{-\gamma \varepsilon }\!\,$ Euler-Mascheronijeva konstanta $\gamma \!\,$.

Apéryjeva konstanta je povezana tudi z vrednostmi trilogaritma $\operatorname {Li} _{3}(z)\!\,$ (posebnega primera polilogaritma $\operatorname {Li} _{s}(z)\!\,$):

$\operatorname {Li} _{3}(1)=\zeta (3)\!\,.$

Za $z=1\!\,$ se funkcija polilogaritma zreducira na Riemannovo funkcijo zeta:

$\operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s),\qquad (\operatorname {Re} (s)>1)\!\,.$

$\operatorname {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+\lambda (3)=0,53721\ 31936\ 08040\ 20094\ 06232\ 2559496582\ 66704\ 02499\ldots \!\,,$ (OEIS A099217)

kjer je $\lambda (s)\!\,$ Dirichletova funkcija λ, definirana kot:

$\lambda (3)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}=\lambda (2)J(1)-\beta (1)J(2)=\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}\right)\zeta (3)={\frac {7\zeta (3)}{8}}=1,05179\ 97902\ 64644\ 99972\ 47708\ 91322\ 51874\ 19193\ 63005\ldots \!\,,$ (OEIS A233091)

kjer je $\beta (s)\!\,$ Dirichletova funkcija β, $J(s)\!\,$ pa integralska funkcija.

Znane števke

Število znanih števk Apéryjeve konstante $\zeta (3)\!\,$ se je v zadnjih desetletjih zelo povečalo in zdaj znaša več kot $2\cdot 10^{12}\!\,$. To je posledica povečanja zmogljivosti računalnikov kot tudi izboljšav algoritmov.

število znanih desetiških števk Apéryjeve konstante $\zeta (3)\!\,$

datum	desetiške števke	avtor
1735	16	Leonhard Euler
okoli 1880	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520000	Greg J. Fee, Simon Plouffe
1997	1000000	Bruno Haible, Thomas Papanikolaou
maj 1997	10536006	Patrick Demichel
februar 1998	14000074	Sebastian Wedeniwski
marec 1998	32000213	Sebastian Wedeniwski
julij 1998	64000091	Sebastian Wedeniwski
december 1998	128000026	Sebastian Wedeniwski
september 2001	200001000	Shigeru Kondo, Xavier Gourdon
februar 2002	600001000	Shigeru Kondo, Xavier Gourdon
februar 2003	1000000000	Patrick Demichel, Xavier Gourdon
april 2006	10000000000	Shigeru Kondo, Steve Pagliarulo
21. januar 2009	15510000000	Alexander J. Yee, Raymond Chan
15. februar 2009	31026000000	Alexander J. Yee, Raymond Chan
17. september 2010	100000001000	Alexander J. Yee
23. september 2013	200000001000	Robert J. Setti
7. avgust 2015	250000000000	Ron Watkins
21. december 2015	400000000000	Dipanjan Nag
13. avgust 2017	500000000000	Ron Watkins
26. maj 2019	1000000000000	Ian Cutress
26. julij 2020	1200000000100	Seungmin Kim
22 december 2023	2020569031595	Andrew Sun

Verižni ulomki

Navadni neskončni verižni ulomek Apéryjeve konstante je: (OEIS A013631)

$\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]\!\,.$

Ni znano ali je ta verižni ulomek periodičen ali ne.

Prvi posplošeni verižni ulomek Apéryjeve konstante s pravilnostjo sta neodvisno odkrila Stieltjes in Ramanudžan:

$\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac {2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\!\,$

Lahko se pretvori v obliko:

$\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac {3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3}+3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}\!\,$

Apéry je lahko pospešil konvergenco v obliki:

${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac {3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3}+51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}\\&=5+K_{n=1}^{\infty }{\frac {-n^{6}}{17\left[n^{3}+(n+1)^{3}\right]-12(2n+1)}}\end{aligned}}\!\,.$

Obratna vrednost

Obratna vrednost $\zeta (3)\!\,$ (OEIS A088453):

${\frac {1}{\zeta (3)}}=0,83190\ 73725\ 80707\ 46868\ 31262\ 78821\ 53073\ 44170\ 56397\ldots \!\,$

predstavlja verjetnost, da bo katerokoli od treh naključno izbranih pozitivnih celih števil, tuje drugima dvema v smislu, da ko gre $N\!\,$ proti neskončnosti, se bo verjetnost, da tri pozitivna cela števila, manjša od $N\!\,$ in izbrana enakomerno naključno, ne bodo imela skupnega prafaktorja, približevala tej vrednosti. Verjetnost za $n\!\,$ pozitivnih celih števil je enaka $1/\zeta (n)\!\,$. V enakem smislu je verjetnost, da naključno izbrano pozitivno celo število ne bo enakomerno deljivo s kubom celega števila, večjega od 1. Verjetnost za nedeljivost z $n\!\,$-to potenco je enako $1/\zeta (n)\!\,$.

Razširitev na ζ (2n + 1)

Mnogi so poskušali razširiti Apéryjev dokaz, da je $\zeta (3)\!\,$ iracionalno število, na druge vrednosti Riemannove funkcije zeta z lihimi argumenti. Neskončno mnogo števil oblike $\zeta (2n+1)\!\,$ mora biti iracionalnih, in vsaj eno od števil $\zeta (5)\!\,$, $\zeta (7)\!\,$, $\zeta (9)\!\,$ in $\zeta (11)\!\,$ mora biti iracionalno.

Praštevila iz števk

Če se iz števk Apéryjeve konstante brez upoštevanja decimalne vejice zaporedoma sestavljajo števila, so prva taka števila, ki so tudi praštevila (OEIS A119333) za $n=10,55,109,141,\ldots \!\,$ (OEIS A119334):

$1202056903\!\,,$

$1202056903159594285399738161511449990764986292340498881\!\,,$

$1202056903159594285399738161511449990764986292340498881$

$\qquad \qquad 792271555341838205786313090186455873609335258146199157\!\,,$

$1202056903159594285399738161511449990764986292340498881\!\,$

$\qquad \qquad 792271555341838205786313090186455873609335258146199157\!\,$

$\qquad \qquad 79526071941849199599867328321377\!\,.$

$\ldots \!\,$

Naslednja števila so na primer sestavljena:

$12020569=11\cdot 1092779\!\,,$

$12020569031=43^{2}\cdot 223\cdot 29153\!\,,$

$1202056903159=7\cdot 271\cdot 17791\cdot 35617\!\,,$

$120205690315959=3\cdot 179203\cdot 223593151\!\,,$

$12020569031595942853=7\cdot 211\cdot 7260439\cdot 1120938151\!\,,$

$120205690315959428539=37\cdot 101\cdot 565177\cdot 56913782411\!\,,$

$1202056903159594285399=443\cdot 6427\cdot 16008833\cdot 26372623\!\,,$

$12020569031595942853997=13\cdot 924659156276610988769\!\,,$

$120205690315959428539973=29\cdot 4145023803998600984137\!\,,$

$\ldots \!\,$

Glej tudi

• harmonična vrsta – $\zeta (1)\!\,$
• baselski problem – $\zeta (2)\!\,$
• Riemannova funkcija zeta
• Catalanova konstanta
• seznam vsot obratnih vrednosti

Viri

• Amdeberhan, Tewodros (15. april 1996), »Faster and faster convergent series for $\zeta (3)\!\,$«, Electronic Journal of Combinatorics, 3 (1), doi:10.37236/1237, ISSN 1077-8926
• Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron (1997), »Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method«, Electronic Journal of Combinatorics, 4 (2), arXiv:math/9804121, Bibcode:1998math......4121A
• Apéry, Roger (1979), »Irrationalité de $\zeta 2$ et $\zeta 3$«, Astérisque, 61: 11–13
• Berndt, Bruce Carl (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer
• Beukers, Frits (1979), »A Note on the Irrationality of $\zeta (2)\!\,$ and $\zeta (3)\!\,$«, Bull. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112/blms/11.3.268
• Blagouchine, Iaroslav V. (7. januar 2014), »Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results«, The Ramanujan Journal, 35 (1): 21–110, doi:10.1007/s11139-013-9528-5, S2CID 120943474
• Broadhurst, David John (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta (3)\!\,$ and $\zeta (5)\!\,$, arXiv:math.CA/9803067
• Euler, Leonhard (1741), »Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali« (PDF), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (v latinščini), 8: 173–204, pridobljeno 9. februarja 2011 Predstavljeno sanktpeterburški akademiji znanosti 13. oktobra 1735.
  • angleški prevod Finding the sum of any series from a given general term (PDF), prevod: Bell, Jordan, arXiv:0806.4096, pridobljeno 9. februarja 2011
• Euler, Leonhard (1773), »Exercitationes analyticae« (PDF), Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (v latinščini), 17: 173–204, pridobljeno 18. maja 2008
• Finch, Steven R. (2003), Mathematical Constants, (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications) (v angleščini), zv. 94, Cambridge University Press, str. 1.6.6, COBISS 12723033, ISBN 978-0-521-81805-6
• Frieze, Alan Michael (1985), »On the value of a random minimum spanning tree problem«, Discrete Applied Mathematics, 10 (1): 47–56, doi:10.1016/0166-218X(85)90058-7, MR 0770868
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), The Apéry's constant: $\zeta (3)\!\,$
• Haber, Howard E. (zima 2010), »The logarithmic derivative of the Gamma function« (PDF), Physics 116A lecture notes, Univerza Kalifornije, Santa Cruz
• Hjortnaes, Margrethe Munthe (Avgust 1953), »Overføring av rekken $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)\!\,$ til et bestemt integral«, Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund, Švedska: Scandinavian Mathematical Society, str. 211–213
• Jensen, Johan Ludwig William Valdemar (1895), »Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver«, L'Intermédiaire des Mathématiciens, II: 346–347
• Jevgrafov, Marat Andrejevič; Bežanov, Konstantin Avetisovič; Sidorov, Jurij Viktorovič; Fedorjuk, Mihail Vasiljevič; Šabunin, Mihail Ivanovič (1969), Сборник задач по теории аналитических функций (1. izd.), Moskva: Nauka, str. 387
• Kim, JeonWon (2014). »Functional Equations related to the Dirichlet lambda and beta functions«. arXiv:1404.5467 [math:NT].
• Markov, Andrej Andrejevič (1890), »Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes«, Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, XXXVII (9): 18pp
• Mohammed, Mohamud (1. januar 2005), »Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method«, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7: 11–24, doi:10.46298/dmtcs.342, ISSN 1462-7264
• Mollin, Richard Anthony (2009), Advanced Number Theory with Applications, (Discrete Mathematics and Its Applications), CRC Press, str. 220, ISBN 9781420083293
• Munafo, Robert, »2.66514414269022518865029724987313984827421131371465...«, mrob.com (v angleščini), pridobljeno 11. aprila 2025
• Nag, Dipanjan (2015), Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record (v angleščini)
• Plouffe, Simon (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II
• Rivoal, Tanguy (2000), »La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs«, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4): 267–270, arXiv:math/0008051, Bibcode:2000CRASM.331..267R, doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4, S2CID 119678120
• Srivastava, Hari Mohan (december 2000), »Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions« (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, 4 (4): 569–599, doi:10.11650/twjm/1500407293, ISSN 1027-5487, MR 1799754, OCLC 36978119, Zbl 0964.11033, pridobljeno 22. avgusta 2015{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Tóth, László (2022), »Linear Combinations of Dirichlet Series Associated with the Thue-Morse Sequence« (PDF), Integers, 22 98, arXiv:2211.13570
• van der Poorten, Alfred (1979), »A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $\zeta (3)\!\,$« (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, ISSN 0343-6993, S2CID 121589323, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 6. julija 2011
• Wedeniwski, Sebastian (13. december 1998), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places (v angleščini) (sporočilo Simonu Plouffeju z izvirnim besedilom, vendar z le nekaj decimalkami).
• Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe (ur.), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg (sporočilo Simonu Plouffeju z vsemi decimalkami vendar s krajšim besedilom, ki ga je uredil Simon Plouffe).
• Yee, Alexander J. (2009), Large Computations (v angleščini)
• Yee, Alexander J. (2017), Zeta(3) - Apéry's Constant (v angleščini)
• Yee, Alexander J. (5. april 2025), Records set by y-cruncher (v angleščini)
• Zudilin, Vadim Valentinovič (2001), »One of the numbers $\zeta (5)\!\,$, $\zeta (7)\!\,$, $\zeta (9)\!\,$, $\zeta (11)\!\,$ is irrational«, Russian Mathematical Surveys, 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427, ISSN 0042-1316
• Zudilin, Vadim Valentinovič (2002), An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159, Bibcode:2002math......2159Z

Nadaljnje branje

• Nahin, Paul J. (2021), In Pursuit of Zeta-3: The world's most mysterious unsolved math problem, Princeton: Princeton University Press, Bibcode:2021ipzw.book.....N, ISBN 978-0-691-22759-7, OCLC 1260168397
• Vaidjanathasvami, Ramasvami S. (1. julij 1934), »Notes on Riemann's $\zeta \!\,$-function«, Journal of the London Mathematical Society, 9 (3): 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Apéry's Constant«. MathWorld (v angleščini).
• Setti, Robert J. (2015), Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 8. oktobra 2013
• Plouffe, Simon, Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places (v angleščini), arhivirano iz prvotnega spletišča dne 5. februarja 2008, pridobljeno 29. julija 2005