Apéryjeva konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
dvojiško 1,0011001110111010...
desetiško 1,2020569031595942854...
šestnajstiško 1,33BA004F00621383...
verižni ulomek
Verižni ulomek je neskončen, ni pa znano ali je periodičen ali ne.

Apéryjeva konstanta je v matematiki, na meji med teorijo števil in specialnimi funkcijami, vsota obratnih vrednosti kubov naravnih števil. Določena je kot število:

kjer je Riemannova funkcija zeta. Njena približna desetiška vrednost je enaka (OEIS A002117):[1]

Konstanta se imenuje po Rogerju Apéryju. Naravno se pojavlja v mnogih fizikalnih problemih, vključno z izrazi drugega in tretjega reda elektronskega giromagnetnega razmerja s pomočjo kvantne elektrodinamike (QED). Pojavlja se tudi pri analizi naključnih minimalno vpetih dreves[2] in v povezavi s funkcijo gama pri reševanju določenih integralov z eksponentnimi funkcijami v količniku, ki se občasno pojavlja v fiziki, na primer pri izračunavanju dvorazsežnega primera Debyjevega modela in Sfefan-Boltzmannovega zakona.

Iracionalno število[uredi | uredi kodo]

Apéry je leta 1978 dokazal, da je konstanta iracionalno število.[3] Ta rezultat je znan kot Apéryjev izrek. Izvirni dokaz je kompleksen in težek za razumevanje.[4] Kasneje so našli preprostejše dokaze.[5][6]

Beukersov preprostejši dokaz iracionalnosti vključuje aproksimacijo integranda znanega trojnega integrala za :

z Legendrovimi polinomi. Van der Poortenov članek še posebej obravnava ta pristop, kjer je navedeno, da velja:

kjer je , Legendrovi polinomi, podzaporedja pa so cela ali skoraj cela števila.

Ni znano ali je Apéryjeva konstanta transcendentno število.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de et ", Astérisque, 61: 11–13
  • Beukers, Frits (1979), "A Note on the Irrationality of and ", Bull. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112/blms/11.3.268
  • Frieze, Alan Michael (1985), "On the value of a random minimum spanning tree problem", Discrete Applied Mathematics, 10 (1): 47–56, doi:10.1016/0166-218X(85)90058-7, MR 0770868
  • van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of " (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 2011-07-06
  • Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe (ur.), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg (sporočilo Simonu Plouffeju z vsemi decimalkami vendar s krajšim besedilom, ki ga je uredil Simon Plouffe).
  • Wedeniwski, Sebastian (13. december 1998), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places (sporočilo Simonu Plouffeju z izvirnim besedilom, vendar z le nekaj decimalkami).
  • Zudilin, Vadim Valentinovič (2001), "One of the numbers , , , is irrational", Russ. Math. Surv., 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
  • Zudilin, Vadim Valentinovič (2002), An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159, Bibcode:2002math......2159Z