Sanje nezrelega

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Grafa funkcij in v intervalu [0,1]

Sánje nèzrélega je v matematiki občasni naziv za enakosti (OEIS A073009, A083648):

ki ju je leta 1697 odkril Johann Bernoulli.

Ime "sanje nezrelega", ki se pojavi v (Borwein, Bailey & Girgensohn 2004) je podobno imenu "sanje začetnika", ki se nanaša na nepravilno[note 1] identiteto (x + y)n = xn + yn. Sanje nezrelega imajo podoben preveč-dobro-da-bi-bilo-res občutek, ampak velja.

Dokaz[uredi | uredi kodo]

Dokaže se druga enakost. Dokaz za prvo je popolnoma enak.

Dokaz poteka po korakih:

xx se razvije kot:

Vrsta se členoma integrira:

Izračunajo se členi z integracijo po delih. Najprej se integrira člen z uvedbo spremenljivke , kjer je . Tako sledi:

in naprej:

kjer je Pochhammerjev simbol za padajočo fakulteto.

V tem primeru je m = n in obe števili sta celi, tako da je:

Z integracijo od 0 do 1, izginejo vsi členi razen zadnjega pri 1 (vsi členi so v 0 enaki nič, ker je po l'Hôpitalovem pravilu, in vsi členi razen zadnjega so v 1 enaki nič, ker je ), tako da sledi:

Enačba sledi, če se dvigne indeks na .

Verižna ulomka[uredi | uredi kodo]

Neskončna verižna ulomka za številske vrednosti enakosti sta (OEIS A077178, A137420):

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Sophomore's Dream". MathWorld (angleščina).



Napaka pri navajanju: Obstajajo <ref group=note> oznake na tej strani, toda sklici se ne bodo izpisali brez predloge {{sklici|group=note}} (glej stran pomoči).