l'Hôpitalovo pravilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

L'Hôpitalovo pravilo (tudi l'Hospitalovo pravilo) je v matematični analizi pravilo za računanje limit funkcij z nedoločenimi izrazi s pomočjo odvodov. Z zaporednjim odvajanjem je pogosto moč nedoločene izraze prevesti na določene in tako lažje izračunati limite. Pravilo se imenuje po franskoskem matematiku Guillaumeu de l'Hôpitalu, ki je ga je leta 1696 objavil v svojem učbeniku diferencialnega računa Analiza neskočno majhnih količin za razumevanje krivulj (l'Analyse des infiniments petits pour l'intelligence des lignes courbes).

V preprostih primerih l'Hôpitalovo pravilo pravi da, če za dve funkciji f(x) in g(x) velja ali , potem:

kjer je (') prvi odvod funkcij.

Da pravilo velja, mora limita obstajati, in v okolici točke c mora veljati . Če limita ne obstaja, ni zadosten pogoj, da tudi limita ne obstaja.

L'Hôpitalovo pravilo velja tudi za enostranske limite.

Osnovna nedoločena izraza, na katera lahko prevedemo vse ostale, sta:

Drugi nedoločeni izrazi pa so:

Limita pri tem mora obstajati. Odvajanje limit teh oblik lahko vodi do limit, ki ne obstajajo. V teh primerih l'Hôpitalovega pravila ne moremo uporabiti. Če sta na primer funkciji in , potem da l'Hôpitalovo pravilo:

limito, ki ne obstaja, čeprav limita obstaja in velja:

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Izrazi z 0/0[uredi | uredi kodo]

Če v naslednjem zgledu uporabimo pravilo enkrat, dobimo spet nedoločen izraz. Pravilo uporabimo trikrat:

V naslednjem zgledu pravilo uporabimo dvakrat:

Izrazi z ∞/∞[uredi | uredi kodo]