Gaussova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena iz 2 (OEIS A014549):

 G = \frac{1}{\operatorname{M}(1, \sqrt{2})} = 
0,8346268416740731862814297327990468 \ldots \!\, .

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

 G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1 - x^4}} \!\, ,

tako, da je:

 G = \frac{1}{2\pi}\operatorname{\Beta} \left( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2} \right) \!\, ,

kjer je \Beta\, funkcija Β.

Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Povezava z drugimi konstantami[uredi | uredi kodo]

Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:

 \operatorname{\Gamma} \left( \tfrac{1}{4} \right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \!\, .

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.[1]

Lemniskatini konstanti[uredi | uredi kodo]

S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:

 L_{1} = \pi G = \frac{\pi}{M} \!\, ,
 L_{2} \,\,=\,\,\frac{1}{2G} = \frac{M}{2} \!\, ,

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):

 M = \frac{1}{G} = 1,1981402347355922074399224922803238 \!\, .

Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto  L_{1}\, in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

 \varpi \equiv L_{1} = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} = 2,6220575542921198104648395898911194 \ldots \!\, , (OEIS A062539),
 \pi = 2 \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}} \!\, .

Algebrsko neodvisnost \operatorname{\Gamma}(1/4)\, in G\, od \pi\, je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.[2][3]

Druge formule[uredi | uredi kodo]

Formula za G z Jacobijevo funkcijo ϑ je:

 G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi}) \!\, ,

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

 G = \sqrt[4]{32} \, e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2 \!\, .

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

 G = \prod_{m = 1}^{\infty} \tanh^{2} \frac{\pi m}{2} \!\, .

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

 {\frac{1}{G}} = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\sin x} \, \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos x} \, \mathrm{d} x \!\, ,
 G = \int_{0}^{\infty}{\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cosh \pi x }}} \!\, .

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):

 G = [0; 1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,\cdots] \!\, .

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]