Aritmetično-geometrična sredina

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Aritmétično-geométrična sredína dveh realnih števil x in y je v matematiki srednja vrednost, določena na naslednji način:

Najprej se izračuna aritmetična sredina števil x iny. Označi se jo z a1. Nato se izračuna njuno geometrično sredino in se jo označi z g1 - to je kvadratni koren produkta xy:

 \begin{align}
 a_1 &= \frac{1}{2}(x + y) , \\
 g_1 &= \sqrt{xy} \!\, . 
\end{align}

Nato se ta operacija iterira, tako da se namesto x vzame a1, namesto y pa g1. Na ta način sta določeni dve zaporedji (an) in (gn):

 \begin{align}
 a_{n+1} &= \frac{1}{2}(a_n + g_n) ,  \\
 g_{n+1} &= \sqrt{a_n g_n} \!\, .
\end{align}

Ti dve zaporedji konvergirata k istemu številu, kar predstavlja aritmetično-geometrično sredino števil x in y. Označujemo jo z M(x, y), M(x, y) in včasih agm(x, y) ali AGM(x, y).

To lahko rabimo za algoritemske namene v metodi AGM.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Za izračun aritmetično-geometrične sredine števila a0 = 23 in g0 = 7, najprej izračunajmo njuno aritmetično in geometrično sredino:

\begin{align}
 a_1 &= \frac{1}{2}(23 + 7) = 15 , \\
 g_1 &= \sqrt{23 \cdot 7} = 12,68857754044952 \ldots \!\, 
\end{align}

Nato pa iteriramo:

\begin{align}
 a_2 &= \frac{1}{2}(15 + 12,68857754044952) = 13,84428877022476 \ldots , \\
 g_2 &= \sqrt{15 \cdot 12,68857754044952} = 13,79596546482858 \ldots\\
 \dots
\end{align}

Prve štiri iteracije dajo naslednje vrednosti:

n an gn
0 23 7
1 15 12,68857754044952…
2 13,84428877022476… 13,79596546482858…
3 13,82012711752667… 13,82010599666786…
4 13,82011655709727… 13,82011655709323…

Aritmetično-geometrična sredina števil 23 in 7 je skupna limita teh dveh zaporedij, kar je približno 13,82011655709.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Prvi algoritem na podlagi tega para zaporedij se je pojavil v Legendrovem delu. Njegove značilnosti je naprej raziskoval Carl Friedrich Gauss.[1]

Značilnosti in uporaba[uredi | uredi kodo]

Geometrična sredina dveh pozitivnih števil ni nikoli večja od njune aritmetične sredine (glej neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin). Zaradi tega je (gn) naraščajajoče zaporedje, (an) padajoče in velja gn ≤ M(xy) ≤ an. To sta strogi neenakosti, če je xy.

M(x, y) je tako število med geometrično in aritmetično sredino števil x in y, še posebej je med x in y.

Pri r ≥ 0 velja M(rx,ry) = r M(x,y).

Za M(x,y) obstaja integralska oblika:

 \begin{align}\operatorname{M}(x,y) &= \frac\pi2\bigg/\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}}\\
&=\frac{\pi}{4} (x + y) \bigg/ \operatorname{K}\left( \frac{x - y}{x + y} \right) \!\, , 
\end{align}

kjer je K(k) popolni eliptični integral 1. vrste:

 \operatorname{K}(k) = \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} \!\, .

Ker proces aritmetično-geometrične sredine konvergira tako hitro, prek te formule zagotavlja učinkovit način računanja eliptičnih integralov. V tehniki se na primer uporablja pri načrtovanju eliptičnih filtrov.[2]

V programu za simbolno računanje Maple je aritmetično-geometrična sredina določena z GaussAGM(a, b), v programu Mathematica pa z ArithmeticGeometricMean[a, b].

Sorodni koncepti[uredi | uredi kodo]

Obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena od 2 je Gaussova konstanta:

 \frac{1}{\operatorname{M}(1, \sqrt{2})} = G = 0,8346268416740731862814297327990468 \ldots \!\,

Na podobni način se lahko izračuna geometrično-harmonična sredina z zaporedjema geometrične in harmonične sredine. Tudi aritmetično-harmonična sredina se lahko podobno definira, zavzame pa enake vrednosti kot geometrična sredina.

Modificirano aritmetično-geometrično sredino je vpeljal in definiral Semjon Adlaj na strani 1094 izvoda Notices of the AMS septembra 2012.[3] Izkazala se je za uporabno pri računanju popolnih eliptičnih integralov 2. vrste.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Cox (2004), str. 481.
  2. ^ Dimopoulos (2011), str. 147–155.
  3. ^ Adlaj (2012).

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]