Bernoullijeva lemniskata

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Bernoullijeva lemniskata in njeni dve gorišči.
Bernoullijeva lemniskata je nožiščna krivulja pravokotne hiperbole

Bernoullijeva lemniskata je ravninska krivulja, ki jo definirata dve dani točki F_{1}\, in F_{2}\, , imenovani gorišči. Točki sta na razdalji 2a\, , tako da je PF_{1} \cdot PF_{2} = a^{2}\, .

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju I. (1654 – 1705), ki jo je prvi opisal v letu 1694 kot modifikacijo elipse.

Enačbe Bernoullijeve lemniskate[uredi | uredi kodo]

Polarni koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Enačba Bernoullijeve lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je:

 r^{2} = 2a^{2} \cos 2\theta \!\, .

Kartezični koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Bernoullijeve lemniskate:

 (x^{2} + y^{2})^{2} = 2a^{2} (x^{2} - y^{2}) \!\, .

Parametrična oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

Parametrična oblika enačbe je:

 x = \frac{a\sqrt{2}\cos (t)}{\sin (t)^{2} + 1}; \qquad y = \frac{a\sqrt{2}\cos (t)\sin (t)}{\sin (t)^{2} + 1} \!\, .

Bipolarna oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

Bipolarna oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je:

 rr' = a^{2} \!\, .

Odvodi[uredi | uredi kodo]

Za y kot funkcijo x[uredi | uredi kodo]

 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x = 0 \\
\frac{x(a^{2} - x^{2} - y^{2})}{y(a^{2} + x^{2} + y^{2})}  & \mbox{kadar je } y \ne 0   
\end{cases}
 \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\
0 & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x = 0 \\
\frac{3a^{6}(y^{2} - x^{2})}{y^{3}(a^{2} + 2x^{2} + 2y^{2})^{3}} & \mbox{kadar je } y \ne 0  
\end{cases}

Za x kot funkcijo y[uredi | uredi kodo]

 \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } 2x^{2} + 2y^{2} = a^{2} \\
\pm1 & \mbox{kadar je } x = 0 \mbox{ in } y = 0 \\
\frac{y(a^{2} + 2x^{2} + 2y^{2})}{x(a^{2} - 2x^{2} - 2y^{2})}  & \mbox{v ostalih primerih }  
\end{cases}
 \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} y^{2}} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } 2x^{2} + 2y^{2} = a^{2} \\
0 & \mbox{kadar je } x = 0 \mbox{ in } y = 0 \\
\frac{3a^{6}(x^{2} - y^{2})}{x^{3}(a^{2} - 2x^{2} - 2y^{2})^{3}}  & \mbox{v ostalih primerih}  
\end{cases}

Ukrivljenost[uredi | uredi kodo]

Ko sta znana prva dva odvoda, ni težko določiti ukrivljenost Bernoullijeve lemniskate:

 \kappa = \pm 3(x^{2} + y^{2})^{1/2}a^{-2} \!\, ,

kjer je [[predznak]g izbran glede na smer gibanja vzdolž krivulje. Značilnost lemniskate je, da je velikost ukrivljenosti v vsaki njeni točki sorazmerna z razdaljo te točke od izhodišča.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]