Bernoullijeva lemniskata

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Bernoullijeva lemniskata in njeni dve gorišči.

Bernoullijeva lemniskata je ravninska krivulja, ki jo definirata dve dani točki  F_1 in  F_2 , imenovani gorišči. Točki sta na razdalji  2a tako, da je  PF_1 \cdot PF_2 = a^2 \,

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju I. (1654 – 1705), ki jo je prvi opisal v letu 1694 kot modifikacijo elipse.

Enačbe Bernoullijeve lemniskate[uredi | uredi kodo]

Polarni koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Enačba Bernoullijeve lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je

r^2 = 2a^2 \cos 2\theta \,.

Kartezični koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Bernoullijeve lemniskate

(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2) \,.

Parametrična oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

Parametrična oblika enačbe je

x = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)}{\sin(t)^2 + 1}; \qquad y = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^2 + 1} .

Bipolarna oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

Bipolarna oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je

rr' = a^2.

Odvodi[uredi | uredi kodo]

Za y kot funkcijo x[uredi | uredi kodo]

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)}  & \mbox{kadar je } y \ne 0   
\end{cases}
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\
0 & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{kadar je } y \ne 0  
\end{cases}

Za x kot funkcijo y[uredi | uredi kodo]

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{kadar je } x = 0 \mbox{ in } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{v ostalih primerih }  
\end{cases}
\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{kadar je } x = 0 \mbox{ in } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{v ostalih primerih}  
\end{cases}

Ukrivljenost[uredi | uredi kodo]

Ko poznamo prva dva odvoda, ni težko določiti ukrivljenost Bernoullijeve lemniskate:

 \kappa = \pm3(x^2 + y^2)^{1/2}a^{-2} \!\, ,

kjer je predznak izbran glede na smer gibanja vzdolž krivulje. Značilnost lemniskate je, da je velikost ukrivljenosti v vsaki njeni točki sorazmerna z razdaljo te točke od izhodišča.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]