Pascalov polž

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nastanek Pascalovega polža.

Pascalov polž (tudi samo polž) je vrsta rulete, ki nastane takrat, ko se krožnica zavrti po zunanji strani enako velike krožnice. Te vrste krivulj spadajo v družino središčnih trohoid oziroma med epitrohoide. Po obliki lahko imajo notranje ali zunanje zanke, lahko imajo obliko srca ali celo ovala. Pascalov polž je dvokrožna racionalna algebrska ravninska krivulja s stopnjo 2.

Prvi je proučeval krivuljo polž francoski matematik Étienne Pascal (1623 - 1662), oče znanega francoskega matematika, filozofa in fizika Blaisa Pascala (1623 – 1662).

Trije polži: samo z jamico (vboklino), s konico (kardioida) in z zanko.

Pascalov polž v polarnih koordinatah[uredi | uredi kodo]

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba Pascalovega polža

r = b + a \cos \theta \,.

Pascalov polž v kartezičnih koordinatah[uredi | uredi kodo]

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba

(x^2+y^2-ax)^2=b^2(x^2+y^2). \,

Pascalov polž v parametrični obliki[uredi | uredi kodo]

Parametrična oblika enačbe Pascalovega polža je

x = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2\theta,\, y = b \sin \theta + {a\over 2} \sin 2\theta.

Pascalov polž v kompleksni ravnini[uredi | uredi kodo]

V kompleksni ravnini enačba Pascalovega polža zavzame obliko

z = {a\over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}.

Če jo premaknemo horizontalno za  a/2 \,, dobimo običajno obliko središčne trohoide

z = b e^{it} + {a\over 2} e^{2it}.

Povezave z drugimi krivuljami[uredi | uredi kodo]

  • naj bo  P \, točka in  C \, naj bo krožnica katere središče ni  P \,. V tem primeru je ovojnica teh krožnic, katerih središča ležijo na krivulji  C \, in gredo skozi  P \, Pascalov polž.
  • nožiščna krivulja krožnice je Pascalov polž.
  • konhoida krožnice glede na točko na krožnici je Pascalov polž
  • posebni primer kartezičnega ovala je Pascalov polž
  • Pascalov polž je epitrohoida, če imata vrteča se in fiksna krožnica enake polmere [1]
  • Pascalov polž je katakavstika krožnice za žarke, ki prihajajo iz točke, ki je na končni razdalji od oboda [2].

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]