Pascalov polž

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nastanek Pascalovega polža.

Pascalov polž (tudi samo polž) je vrsta rulete, ki nastane takrat, ko se krožnica zavrti po zunanji strani enako velike krožnice. Te vrste krivulj spadajo v družino središčnih trohoid oziroma med epitrohoide. Po obliki lahko imajo notranje ali zunanje zanke, lahko imajo obliko srca ali celo ovala. Pascalov polž je dvokrožna racionalna algebrska ravninska krivulja s stopnjo 2.

Prvi je proučeval krivuljo polž francoski matematik Étienne Pascal (1623 – 1662), oče znanega francoskega matematika, filozofa in fizika Blaisa Pascala (1623 – 1662).

Trije polži: samo z jamico (vboklino), s konico (srčnica) in z zanko.

Pascalov polž v polarnih koordinatah[uredi | uredi kodo]

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba Pascalovega polža:

 r = b + a \cos \theta \!\, .

Pascalov polž v kartezičnih koordinatah[uredi | uredi kodo]

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba:

 (x^2+y^2-ax)^2=b^2(x^2+y^2) \!\, .

Pascalov polž v parametrični obliki[uredi | uredi kodo]

Parametrična oblika enačbe Pascalovega polža je:

 x = \frac{a}{2} + b \cos \theta + \frac{a}{2} \cos 2\theta,\, y = b \sin \theta + \frac{a}{2} \sin 2\theta \!\, .

Pascalov polž v kompleksni ravnini[uredi | uredi kodo]

V kompleksni ravnini enačba Pascalovega polža zavzame obliko:

 z = \frac{a}{2} + b e^{i\theta} + \frac{a}{2} e^{2i\theta} \!\, .

Če se jo premakne vodoravno za a/2\, , se dobi običajno obliko središčne trohoide:

 z = b e^{it} + \frac{a}{2} e^{2it} \!\, .

Povezave z drugimi krivuljami[uredi | uredi kodo]

  • naj bo P\, točka in C\, naj bo krožnica katere središče ni P\, . V tem primeru je ovojnica teh krožnic, katerih središča ležijo na krivulji C\, in gredo skozi  P \, Pascalov polž.
  • nožiščna krivulja krožnice je Pascalov polž.
  • konhoida krožnice glede na točko na krožnici je Pascalov polž
  • posebni primer Desartesovega ovala je Pascalov polž
  • Pascalov polž je epitrohoida, če imata vrteča se in negibna krožnica enake polmere.[1]
  • Pascalov polž je katakavstika krožnice za žarke, ki prihajajo iz točke, ki je na končni razdalji od oboda.[2]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]