Ovojnica (matematika)

Konstrukcija ovojnice družine krivulj.

Ovojnica krivulj $y=f'(c)(x-c)+f(c)\,$

Ovójnica (tudi envelopa) je v geometriji družina krivulj v ravnini tako, da je krivulja tangenta na vse člane družine v isti točki. Točko na ovojnici se lahko predstavlja kot presečišče dveh sosednjih krivulj, kar je isto kot limita presekov bližnjih krivulj. To se lahko posploši na ploskve v prostoru in tudi na višje razsežnosti. Preprosto se to pove, da je ovojnica krivulje tangentna na vsak član družine krivulj (v ravnini) ali ploskev (v treh razsežnostih).

Ovojnica družine krivulj

Naj bo vaka krivulja $C_{t}\,$ v družini dana z $f_{t}(x,y)=0\,$, kjer je $t\,$ parameter. Zapiše se $F(t,x,y)=f_{t}(x,y)\,$ in se predpostavi, da je $F\,$ diferenciabilna.

Ovojnica družine $C_{t}\,$ je definirana kot množica točk za katere je:

$F(t,x,y)={\frac {\partial F}{\partial t}}(t,x,y)=0\!\,$

za vrednost $t\,$, kjer je:

• $\partial F/\partial t\,$ parcialni odvod funkcije $F\,$ glede na $t\,$.

Kadar za $t\,$ in $u\,$, ki sta dve vrednosti parametra, velja $t\neq u\,$, potem je presečišče krivulj $C_{t}\,$ in $C_{u}\,$ dano z:

$F(t,x,y)=F(u,x,y)=0\!\,,$

ali (kar je isto):

$F(t,x,y)={\frac {F(u,x,y)-F(t,x,y)}{u-t}}=0\!\,.$

Naj gre $u\to t\,$ in dobi se zgornjo definicijo.

Druge definicije

1. Ovojnica $E_{1}\,$ je limita presečišč sosednjih krivulj $C_{t}\,$
2. Ovojnica $E_{2}\,$ je krivulja, ki je tangentna na vse $C_{t}\,$
3. Ovojnica $E_{3}\,$ je meja področja, ki je zapolnjeno s krivuljami $C_{t}\,$.

Velja $E_{1}\subseteq {\mathcal {D}}\,$, $E_{2}\subseteq {\mathcal {D}}\,$ in $E_{3}\subseteq {\mathcal {D}}\,$.

Ovojnica družine ploskev

Enoparametrična družina ploskev v trirazsežnem evklidskem prostoru je dana z enačbo:

$F(x,y,z,a)=0\!\,,$

kjer je $a\,$ realni parameter.

Dve ploskvi, ki pripadata dvema različnima vrednostima $a\,$ in $a^{\prime }\,$, se sekata na skupni krivulji, ki je določena z:

$F(x,y,z,a)=0,\,\,{F(x,y,z,a^{\prime })-F(x,y,z,a) \over a^{\prime }-a}=0\!\,.$

Ko se $a^{\prime }\,$ približuje $a\,$, ta krivulja v točki $a\,$ prehaja v krivuljo, ki je na ploskvi:

$F(x,y,z,a)=0,\,\,{\partial F \over \partial a}(x,y,z,a)=0\!\,.$

Ta krivulja se imenuje karakteristika družine v $a\,$. Ko $a\,$ spreminja geometrijsko mesto te karakteristične krivulje pri tem definira ploskev, ki se imenuje ovojnica družine ploskev.

Ovojnica družine ploskev je tangentna na vsako ploskev družine vzdolž karakteristične krivulje te ploskve.

Glej tudi

• premonosna ploskev

Viri

• Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0521429994
• Eisenhart, Luther P. (2008), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Schwarz Press, ISBN 1443731609

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »Envelope«. MathWorld.
• Ovojnica v Encyclopedia of Mathematics (angleško)