Ovojnica (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Konstrukcija ovojnice družine krivulj.
Ovojnica krivulj y = f'(c) (x-c) + f(c)\,

Ovójnica (tudi envelopa) je v geometriji družina krivulj v ravnini tako, da je krivulja tangenta na vse člane družine v isti točki. Točko na ovojnici se lahko predstavlja kot presečišče dveh sosednjih krivulj, kar je isto kot limita presekov bližnjih krivulj. To se lahko posploši na ploskve v prostoru in tudi na višje razsežnosti. Preprosto se to pove, da je ovojnica krivulje tangentna na vsak član družine krivulj (v ravnini) ali ploskev (v treh razsežnostih).

Ovojnica družine krivulj[uredi | uredi kodo]

Naj bo vaka krivulja C_{t}\, v družini dana z f_{t} (x, y) = 0\, , kjer je t\, parameter. Zapiše se F (t, x, y) = f_{t} (x, y)\, in se predpostavi, da je F\, diferenciabilna.

Ovojnica družine C_{t}\, je definirana kot množica točk za katere je:

 F(t, x, y) = \frac{\partial F}{\partial t}(t, x, y) = 0 \!\,

za vrednost t\, , kjer je:

Kadar za t\, in u\, , ki sta dve vrednosti parametra, velja t \ne u\, , potem je presečišče krivulj C_{t}\, in C_{u}\, dano z:

 F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0 \!\, ,

ali (kar je isto):

 F(t, x, y) = \frac{F(u, x, y) - F(t, x, y)}{u-t} = 0 \!\, .

Naj gre u \to t\, in dobi se zgornjo definicijo.

Druge definicije[uredi | uredi kodo]

  1. Ovojnica E_{1}\, je limita presečišč sosednjih krivulj C_{t}\,
  2. Ovojnica E_{2}\, je krivulja, ki je tangentna na vse C_{t}\,
  3. Ovojnica E_{3}\, je meja področja, ki je zapolnjeno s krivuljami C_{t}\, .

Velja E_{1} \subseteq \mathcal{D}\, , E_{2} \subseteq \mathcal{D}\, in E_{3} \subseteq \mathcal{D}\, .

Ovojnica družine ploskev[uredi | uredi kodo]

Enoparametrična družina ploskev v trirazsežnem evklidskem prostoru je dana z enačbo:

 F(x,y,z,a)=0 \!\, ,

kjer je a\, realni parameter.[2]

Dve ploskvi, ki pripadata dvema različnima vrednostima a\, in a^{\prime}\, , se sekata na skupni krivulji, ki je določena z:

 F(x,y,z,a)=0,\,\,{F(x,y,z,a^{\prime})-F(x,y,z,a)\over a^{\prime} - a}=0 \!\, .

Ko se a^{\prime}\, približuje a\, , ta krivulja v točki a\, prehaja v krivuljo, ki je na ploskvi:

 F(x,y,z,a)=0,\,\,{\partial F\over \partial a}(x,y,z,a)=0 \!\, .

Ta krivulja se imenuje karakteristika družine v a\, . Ko a\, spreminja geometrijsko mesto te karakteristične krivulje pri tem definira ploskev, ki se imenuje ovojnica družine ploskev.

Ovojnica družine ploskev je tangentna na vsako ploskev družine vzdolž karakteristične krivulje te ploskve.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0521429994 
  • Eisenhart, Luther P. (2008), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Schwarz Press, ISBN 1443731609 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]